不等关系与一元二次不等式(重点高中)

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课时跟踪检测（三十二）不等关系与一元二次不等式

(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．M

B．M >N D．不确定

解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M >N. 2.不等式

>1的解集为( ) 2x－1

B．(－∞，1) 1?D.??2，2?

A.??2，1?

－∞，?∪(1，＋∞) C.?2??

x解析：选A 原不等式等价于－1>0，

2x－1x－?2x－1?x－1

>0，整理得<0，

2x－12x－1

即

不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得

3.(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－1,3)

B．(1,3)

D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax

∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1

4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那

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么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )

A．12元

C．12元到16元之间

B．16元

D．10元到14元之间

解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，

依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，

所以每件销售价应为12元到16元之间．

?x－1 a－2?≥1对任意实数x恒成立，?a b?＝ad－bc，5.在R上定义运算：若不等式?cd?x??a＋1

则实数a的最大值为( )

A．－

21C. 2

3B．－

23D. 2

?x－1a－2?

解析：选D 由定义知，不等式?≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－ ?x??a＋1

1333132

x－?2＋≥，x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝?∴a－a≤，解得－≤a≤，?2?444223

则实数a的最大值为. 2

6．a，b∈R，a＜b和a＜b同时成立的条件是________．

111111

解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，b＞a，即a＜b；若ab＞0，则a＞b. 11所以a＜b和a＜b同时成立的条件是a＜0＜b. 答案：a＜0＜b

7．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．

解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是2323

－，＋∞?. f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为??5?5

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－，＋∞? 答案：??5?

??x＋ax，x≥0，

8.已知函数f(x)＝?2为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．

?bx－3x，x＜0?

解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

?x2－3x，x≥0，?

即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝?当x≥0时，

?－x－3x，x＜0.?

由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．

答案：(－∞，4) 9.设实数a，b，c满足： ①b＋c＝6－4a＋3a2， ②c－b＝4－4a＋a2.

试确定a，b，c的大小关系．

解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2， 13a－?2＋>0，所以b－a＝a2－a＋1＝??2?4所以b>a，从而c≥b>a.

10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3， ∴原不等式可化为a2－6a－3<0，解得3－23

∴原不等式的解集为{a|3－23

(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，

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a?6－a?

?－1＋3＝，?3等价于?

6－b

??－1×3＝－3，

??a＝3±3，解得?

?b＝－3.?

B级——拔高题目稳做准做

1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a的取值范围是( ) A．[－4,1] C．[1,3]

B．[－4,3] D．[－1,3]

解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1

?2x1－2，x≥1，?2.(2018·云南统检)已知函数f(x)＝?1－x则不等式f(x－1)≤0的解集为

??2－2，x<1，

－

( )

A.{x|0≤x≤2} C.{x|1≤x≤2}

B.{x|0≤x≤3} D.{x|1≤x≤3}

x2??2－－2，x≥2，

解析：选D 由题意，得f(x－1)＝?当x≥2时，由2x－2－2≤0，解

2x??2－－2，x<2.

得2≤x≤3；当x<2时，由22－x－2≤0，解得1≤x<2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}.

3．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．

解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，

所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，

Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，

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解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]

4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

aax＋?2＋b－. 解析：由题意知f(x)＝x＋ax＋b＝??2?4

a2a2

因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－＝0，即b＝.

44a

x＋?2. 所以f(x)＝??2?a

x＋?2

即－－c

?－2－所以?a

－?2＋答案：9

c＝m， ①c＝m＋6. ②

②－①，得2c＝6，所以c＝9.

5．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. f?x?

(1)若a＝2，试求函数y＝x(x>0)的最小值；

(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．

f?x?x－4x＋11

解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.

xxx

因为x>0，所以x＋x≥2，当且仅当x＝x时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2. f?x?

所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.

x(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，

所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．

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??g?0?≤0，所以?

?g?2?≤0，???0－0－1≤0，即? ??4－4a－1≤0，

3解得a≥. 4

3?则实数a的取值范围为??4，＋∞?.

6.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝g?x?

. x

(1)求a，b的值；

(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，

因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，

???g?2?＝1，?a＝1，故?解得? ???g?3?＝4，?b＝0.

(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋x－2， 1

f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋x－2≥k·2x，

1?211?1?x－2·x≥k，令t＝x，则t∈，2. 化简得1＋??2??2?22即k≤t2－2t＋1，

记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈??2，2?，

故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1]．