概率试卷08-09-1期中(理工答案)(1)

---------------------- 学 院 装 订 线 ---------------------------------------- 专业班 级 装 订 线 ---------------------------------------- 学 号 装 订 线 --------------------------------------------- 姓 名 -----------------------天津工业大学（2008—2009学年第一学期）

07级《概率论与数理统计》（理工）期中试卷

(2008/11)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。本试卷共有 8 页，共 八 道大题，请核对后做密封答，若有疑问请与监考教师联系。 线----------------------------------------满分 32 8 10 10 12 12 10 6 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 复核 得分 评阅人

一. 填空题（本题满分32分）

1. 设A,B是两个事件，且P(A)?0.5，P(B)?0.4，P(A?B)?0.3， 密封线则概率P(BA)= 0.6 ，P(A?B)= 0.7 ，P(A?B)= 0.8 . ---------------------------------------2. 在1200个产品中有1000个正品、200个次品，从这1200个产品中任

取300个，则（1）恰好取得80个次品的概率为C80220300200C1000/C1200，（2）至少取得2个次品的概率为1?C30030012993001000/C1200?C200C1000/C1200. （用组合数表达，不必算出数值）

密封线3. 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取出3只球，3只----------------------------------------------球的最大编号为X，则随机变量X的分布律为

X 3 4 5 pk

0.1

0.3

0.6

4. 设连续型随机变量X的分布函数为

F(x)???A?Be??x,x?0， ? 0, x?0 1

?3?其中??0. 则常数A= 1 ，B=?1，P(X?3)=e，X的概率密度函数为

??e??x,x?0. f(x)??0, x?0? 5. 设随机变量X的分布律为

X ?2 ?1 0 1 2 11 30pk 则Y?(X?1)2的分布律为

1 51 61 51 15Y 0 1/15

1 17/30

4 1/6

9 1/5

pk

?0, y?0? 1/15, 0?y?1?Y的分布函数为FY(y)??1?y?4. ?19/30, ?24/30, 4?y?9?? y?9?1, ?1,0?y?1??3y2?1X的密度函数fY(y)=?. ,1?y?4??6y? 0, elses???6. 设X~U(?1,2)，则Y???sinx,0?x??7. 设X1,X2相互独立，且有相同分布，密度函数均为 f(x)?2 ??? 0, 其他??Y?min(X1,X2)，则P??Y??? 1/2 . ?4?8. 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??2?k(x?y),当0?x?1,0?y?1

0, 其它?则常数k= 1 ，t的二次方程t?2Xt?Y?0有实根的概率为 0.35 。

2

---------------------- 学 院 装 订 线 ---------------------------------------- 专业班 级 装 订 线 ---------------------------------------- 学 号 装 订 线 --------------------------------------------- 姓 名 二. （本题满分8分）由自动机床生产的某种零件长度

-----------------------X~N(10.05,0.062)（单位：cm）

，规定零件长度在10.05?0.12（cm）内为合格，?(2)?0.9772，求这种零件长度的不合格率。

解： p?1?P(10.05?0.12?X?10.05?0.12) 密封线?1?P(?2?X?0.12----------------------------------------0.06?2) ?1?[?(2)??(?2)]?2[1??(2)]?0.456 三. （本题满分10分）设甲乙丙三门火炮同时独立地向某目标射击一次，击中的概率分别为0.2，0.3，0.5；目标中一发炮弹而被击毁的概率为0.2，中两发炮弹而被击毁的概率为0.6，中三发炮弹而被击毁的概率为0.9；记事件Ai为“该目标恰中i(i?1,2,3)发炮弹”， D为“目标被击毁”.

密封线---------------------------------------（1）求概率P(Ai)，(i?1,2,3)；

P(A1)?0.2(1?0.3)(1?0.5)?(1?0.2)0.3(1?0.5)?(1?0.2)(1?0.3)0.5?0.47 P(A2)?(1?0.2)?0.3?0.5?0.2?(1?0.3)?0.5?0.2?0.3?(1?0.5)?0.22

P(A3)?0.2?0.3?0.5?0.03

密（2）写出条件概率封P(DAi)，(i?1,2,3)；

线----------------------------------------------P(DA1)?0.2，P(DA2)?0.6，P(DA3)?0.9

（3）求已知该目标被击毁的条件下，恰中一发炮弹的概率. 由贝叶斯公式知 P(ADA1)1D)?P(A1)P(P(A1)P(DA1)?P(A2)P(DA2)?P(A3)P(DA3) ?0.47?0.20.47?0.2?0.22?0.6?0.03?0.9?94253?0.37

3

四. （本题满分10分）

设某种电子元件的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度函数为

1x?1?300e,x?0 ?f(x)??300? 0, x?0?现有4个这种元件独立工作，以Y表示这4个元件中寿命超过600小时的元件个数。

（1） 写出随机变量Y的分布律；

解： P(X?600)?从而Y的分布律为 k?2kP(Y?k)?C4e(1?e?2)4?k,k?0,1,2,3,4 ???6001?300x?2edx?e?2，?Y~b(4,e)， 3001

（2） 求至少有3个元件中寿命超过600小时的概率。

解： P(Y?3)?P(Y?3)?P(Y?4)，

3?2?34?2?4?C4e(1?e?2)4?3?C4e(1?e?2)4?4

?4e?6(1?e?2)?e?8

?e?6(4?3e?2)

4

---------------------- 学 院 装 订 线 ---------------------------------------- 专业班 级 装 订 线 ---------------------------------------- 学 号 装 订 线 --------------------------------------------- 姓 名 五. （本题满分12分）设二维离散型随机变量的联合分布律为

-----------------------

X Y ?1 0 1 0 0.05 0.11 0.14 密1 0.06 0.24 0.10 封线2 0.05 0.15 0.10 ----------------------------------------

(1) 求X的边缘分布律和Y的边缘分布律；

X

0

1

2

Y

-1

0

0

pk

0.3

0.4

0.3

pk

0.16 0.5

0.34

密(2) 判断X与Y是否相互独立； 封线

---------------------------------------解：由于P(X?0,Y??1)?0.05，

而P(X?0)P(Y??1)?0.3?0.16?0.048?0.05

故X与Y不相互独立。

(3) 求Z?max(X,Y)的分布律。

密封线

----------------------------------------------Z

0

1

2

pk

0.16

0.54 0.3

5

六．（本题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?1,当y?x,0?x?1 f(x,y)??? 0, 其他(1) 求X的边缘概率密度fX(x)； 解： 如图 y 1 1/2 1/2 y?x 0 1/2 1 x y??x 故fX(x)??x??1dy?2x,当0?x?1 f(x,y)dy????x? 0, 其它? ?????(2) 求条件概率密度fYX(yx)；

X解：当0?x?1时，fY(yx)有定义，且 ?1f(x,y)?,当y?x,0?x?1 fYX(yx)???2xfX(x)?? 0, 当y?x,0?x?1 (3) 求条件概率P(Y?11X?). 22解：P(Y?11X?)?22P(X?11111,Y?)22?222?1/8?1 113/4612xdxP(X?)?226

---------------------- 学 院 装 订 线 ---------------------------------------- 专业班 级 装 订 线 ---------------------------------------- 学 号 装 订 线 --------------------------------------------- 姓 名 七．（本题满分10分）

-----------------------设随机变量X与Y相互独立，且具有相同的分布，概率密度均为

f(x)???e1?x,x?1 ? 0, x?1密封线求Z?X?Y的概率分布密度fZ(z).

----------------------------------------解：X与Y相互独立，Z?X?Y，故有卷积公式 f??Z(z)????fX(x)fY(z?x)dx 而f?1X(x)fY(z?x)?0???x?z?x?1?1?x?z?1，如图 密x 封x?z?1 线---------------------------------------1 0 1 2 z 密 封线?z?1z?x)----------------------------------------------故f???1e1?xe1?(dx?e2?z(z?2),z?2Z(z)? ?? 0, z?2

7

八．（本题满分6分）

k???假设一只昆虫产k个卵的概率为e，而一个卵孵成昆虫的概率为p. 又设各个

k!卵是否孵化成昆虫是相互独立的，这样的一只昆虫拥有的后代只数为X，试分析X服从什么分布。

k??解：一只昆虫产k个卵的概率为?e，而k个卵孵成l只昆虫的概率为k!lCkpl(1?p)k?l，由全概率公式知，一只昆虫拥有l只后代的概率为 P(X?l)??k?l???ke??k!lCkpl(1?p)k?l ??k?l???ke??k!k!pl(1?p)k?l l!(k?l)![?(1?p)]k?l ?(k?l)!k?l??(?p)le???l!(?p)le???(1?p) ?el!(?p)le??p? l?0,1,2,? l!故X~?(?p)，即一只昆虫的后代只数X服从参数为?p的泊松分布。 8

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