(1)当Q为PC为中点时,证明PA//平面BDQ;
(2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线PA与BC所成的角为60o
; (3)当侧棱与底面所成的角为60o
时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值. 【答案】
31
42．（山东省德州市 高三3月模拟检测理科数学）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形
∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC=3,AC与BD交于O点,H为OC的中点.
(1)求证PH平面ABCD;
(2)求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值. 【答案】
32
33
43．（山东省威海市 高三上学期期末考试理科数学）三棱锥P?ABC,底面ABC为边长为23的正三角形,平面PBC?平面ABC,PB?PC?2,D为AP上一点,AD?2DP,O为底面三角形中心. (Ⅰ)求证DO∥面PBC; (Ⅱ)求证:BD?AC;
(Ⅲ)设M为PC中点,求二面角M?BD?O的余弦值.
P D A C
O B
【答案】证明:(Ⅰ)连结AO交BC于点E,连结PE.
O为正三角形ABC的中心,∴AO?2OE, 且E为BC中点.又AD?2DP, ∴DO∥PE,
DO?平面PBC,PE?平面PBC ∴DO∥面PBC
(Ⅱ)PB?PC,且E为BC中点, ∴PE?BC, 又平面PBC?平面ABC, ∴PE?平面ABC, 由(Ⅰ)知,DO∥PE, ∴DO?平面PBC, x A ∴DO?AC
连结BO,则AC?BO,又DOBO?O, ∴AC?平面DOB,∴AC?BD
z P D M C
O E B y (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,EA,EB,EP两两互相垂直,且E为BC中点,所以分别以EA,EB,EP所在直线为
x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则
231A(3,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1)，D(1,0,),C(0,?3,0),M(0,?,)
322∴BM?(0,?3312,),DB?(?1,3,?) 223 34
2?n?DB??x?3y?z?0?3?设平面BDM的法向量为n?(x,y,z),则?,
?n?BM??33y?1z?0??22令y?1,则n?(?3,1,33) 由(Ⅱ)知
AC?平面DBO,∴AC?(?3，?3，0)为平面DBO的法向
n?AC33?331, ??31|n||AC|3?1?27?9?331 31量,∴cos?n,AC??由图可知,二面角M?BD?O的余弦值为 44．（山东省潍坊市 高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分1 )如图,四边形ABCD
中,AB?AD,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点E,F分别在BC,AD上,且E为BC中点,EF∥AB.现将四
边形ABEF沿EF折起,使二面角A?EF?D等于60. ( I )设这P为AD的中点,求证:CP∥平面ABEF; (Ⅱ)求直线AF与平面ACD所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)取AF的中点Q,连QE、QP, 则QP所以PQ1
DF,又DF=4,EC=2,且DF∥EC, 2
EC,即四边形PQEC为平行四边形,
所以CP∥QE,又QEì平面ABEF,CP?平面ABEF, 故CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)由题知折叠后仍有EF^AF,EF^FD,则EF^面AFD,
\\?AFD为二面角A-EF-D的平面角, 即?AFD60?, 过AAO^FD于O,又QAO^EF,\\AO^平面CDFE,
作OG∥EF交EC于G,则OG^FD,AO^OG,
作
35
山东省2014届高三理科数学备考之 名校解析试题精选分类汇编7：立体几
何
一、选择题 1 ．（山东省潍坊市 高三第二次模拟考试理科数学）有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左
视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为
A．213 B．6?153 C．30?63 D．42
（ ）
【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱AA1?2.底面边长AD?3,平行六面体的高为
3.BE?2,又AE?AA12?A1E2?22?(3)2?1,所以
AB?1?2?3.所以平行六面体的表面积为2(3?3?3?3?3?2)=30?63,选
C．
2 ．（山东省枣庄三中 高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁
用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π取3)
1
（ ）
A．20 B．22.2 C．111 D．110 【答案】B
【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为4?(3?4)=48(m).圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为??3?5?15??45(m),底面积(去掉一个正方形)为
229??3?3?9??9?18(m2),所以该几何体的总面积为48?45?18?111(m2),所以共需油漆
0.2?111?22.2公斤,选
B．
3 ．（山东省青岛市 高三第一次模拟考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图
均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是
正视图 左视图
俯视图
B．14?
C．12?
D．8?
（ ）
A．16?
【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去球的表面积为A．
13半球的球.其中两个半圆的面积为??22?4?.个24（ ）
3?4??22?12?,所以这个几何体的表面积是12??4??16?,选 44 ．（山东省青岛市 高三第一次模拟考试理科数学）已知m、n为两条不同的直线,?、?为两个不同的
平面,则下列命题中正确的是
A．若l?m,l?n,且m,n??,则l??
2
（ ）
B．若平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等,则?//? C．若m??,m?n,则n//? D．若m//n,n??,则m??
【答案】D 根据线面垂直的性质可知,选项D正确.
5 ．（山东省青岛即墨市 高三上学期期末考试数学（理）试题）设a,b是不同的直线,?、?是不同的平
面,则下列命题:
①若a?b,a//?,则b//? ②若a//?,???,则a?? ③若a??,???,则a//? ④若a?b,a??,b??,则??? 其中正确命题的个数是
A．0 B．1 【答案】B
（ ）
C．2
D．3
【 解析】①当a?b,a//?,时b与?可能相交,所以①错误.②中a??不一定成立.③中a??或B．
6 ．（山东省烟台市 高三3月诊断性测试数学理试题）如右图,某几何体的三视图均为边长为l的正方形,
则该几何体的体积是
a//?,所以错误.④正确,所以正确的个数有1个,所以选
A．
（ ）
C．1
D．
5 6B．
2 31 2115?1?1?1?,选 （ ） 326【答案】A由题意三视图对应的几何体如图所示,
所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即13??A．
7 ．（山东省枣庄三中 高三上学期1月阶段测试理科数学）已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,给出
下列命题:
3
①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m ?α⊥β ④l⊥m?α∥β 其中正确命题的序号是 A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】C
（ ）
【解析】当?//?时,有l??,所以l?m,所以①正确.若l//m,则m??,又m?平面β,所以
?//?,所以③正确,②④不正确,所以选 C．
8 ．（山东省潍坊市 高三第二次模拟考试理科数学）已知m,n是两条不同直线,?,?是两个不同平面,给出
四个命题: ①若???m,n??,n?m,则??? ②若m??,m??,则?//?
③若m??,n??,m?n,则??? ④若m//?,n//?m//n,则?//?
其中正确的命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B由面面垂直的性质可知②③正确. 9 ．（山东省泰安市 高三上学期期末考试数学理）下列命题正确的是 （ ）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 （ ） A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为C,选 C． 10．（山东省滨州市 高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几
何体的体积为
A．1
B．
（ ）
C
．2
13
1D
3 2．
【答案】B由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为1?1=1,使用四棱锥的体积为?1?1?
131,选 3B．
4
11．（山东省烟台市 高三上学期期末考试数学（理）试题）已知m、n是两条不同的直线,?、?是两个
不同的平面,给出下列命题:
①若???,m//?,则???;②若m??,n??,且m?n,则???;③若m??,m//?,则
???;④若m//?,n//?,且m//n,则?//?.其中正确命题的序号是
A．①④
【答案】B
B．②③
C．②④
D．①③
（ ）
【解析】①当???,m//?时,???不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④m//?,n//?,且
m//n,?,?也可能相交,所以错误.所以选
B．
12．（山东省枣庄市 高三3月模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位
为cm,则该几何体的体积为( )cm.
3
A．18 C．45
【答案】D
由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为
B．48 （ ）
D．54
4?5?3?4?54cm3,选 2D．
13．（ 临沂市高三教学质量检测考试理科数学）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的
几何体的表面积为
A．13
B．7+32
C．?
（ ）
72D．14
【答案】D由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为
2(1?3?1?1?3?1)?14,选 D．
14．（山东省威海市 高三上学期期末考试理科数学）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不
5
38．（山东省济南市 高三上学期期末考试理科数学）已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形,
1AB//CD,AD?AB,AD?AB?CD?1,PD?面ABCD,PD?2,E是PC的中点
2(1)证明:BE//面PAD; (2)求二面角E?BD?C的大小.
26
（第20题）
【答案】证明:取PD的中点为F,连接EF,
z
EF//CD,EF?12CD,
FAB//CD且AB?1又2CD， ?EF//AB,EF?AB,y?ABEF是平行四边形，?BE//AF,
x 又BE?面PAD，AF?面PAD，?BE//面PAD.
(2)建系:以DA,DB,DP分别为x轴、y轴、z轴,
B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,2则
2)
DB?(1,1,0),BE?(?1,0,22)
设平面EDB的法向量为n?(x,y,z)
?
?x?y?0????x?22z?0?n?(x,?x,2x)?x(1,?1,2)
令 x=1,则?n?(1,?1,2)
27
又因为平面ABCD的法向量为m?(0,0,1),
cosm,n?2,二面角E?BD?C为450. 239．（山东省枣庄三中 高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示,在棱锥P?ABCD中, PA?平面
ABCD,底面ABCD为直角梯形,PA?AD?DC?2,AB?4且AB//CD,?BAD?90?,
(Ⅰ)求证:BC?PC
(Ⅱ)求PB与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】解:(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=22, 取AB中点E,连接CE, 则四边形AECD为正方形,
?AE=CE=2,又BE=
12AB?2, 则?ABC为等腰直角三角形, ?AC?BC,
又PA?平面ABCD,BC?平面ABCD,
?PA?BC,由AC?PA?A得BC?平面PAC, PC?平面PAC,所以BC?PC
(Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为x,y,z轴, 建立如图所示的坐标系.则P(0,0,2),B(0,4,0), C(2,2,0),
BP?(0,?4,2),BC?(2,?2,0)
由(Ⅰ)知BC即为平面PAC的一个法向量,
cos?BC,BP??BC?BP10|BC||BP|?5, 28
即PB与平面PAC所成角的正弦值为
10 540．（山东省泰安市 高三上学期期末考试数学理）如图,四棱锥P—ABCD中,PB?底面ABCD.底面ABCD为
直角梯形,?ABC?90,AD//BC,AB?AD?PB,BC?2AD.点E在棱PA上,且PE=2EA. (I)求证:CD?平面PBD; (II)求二面角A—BE—D的余弦值. 【答案】
29
41．（山东省烟台市 高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,正方形ABCD的边长为2,将四条边对应的
第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.
30
z
E
D y A C M B x
由(Ⅰ)知DM?平面ABC,AM?MB, 建立如图所示的空间直角坐标系M?xyz. 设AE?h,则M?0,0,0?,B?1,0,0?,
D?0,0,1?A0,3,0,E0,3,h,
3,h.
??BD???1,0,1?,BE???1,???设平面BDE的法向量n1?(x,y,z)
????x?z?0,?BD?n1?0,则? 所以?
????x?3y?zh?0.?BE?n1?0.令x?1, 所以n1?(1,
又平面ADE的法向量n2?(1,0,0) 所以cos?n1,n2??1?h,1) 3n1?n2?n1?n211?h??221?1?32?1 2解得h?6?1, 即AE?6?1
30．（山东省青岛即墨市 高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是
矩形,AB//EF,?EAB?90,AB?2，AD?AE?EF?1,平面ABFE?平面ABCD.
?(1)求证:面DAF?面BAF. (2)求钝二面角B-FC-D的大小.
16
【答案】解:(1)?平面ABFE?平面ABCD，AD?AB，?AD?平面BAF
又?AD?面DAF ?面DAF?面BAF
(2)分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴, 建立的空间直角坐标系,
则A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1) ?DC?（0，2，0），DE?（?1，0，1），??n1.DC?0?y?0设n1?(x,y,z)为平面CDEF的一个法向量，则?????x?z?0 ??n1.DE?0令x?1,得z?1,即n1?(1,0,1)由平面ABFE?平面ABCD知AF?BC，在?AFB中AF?2，AB?2,BF?2?AF?面FBC
?n2?AF?(0,1,1)为平面BCF的一个法向量， ?cos?n1,n2?n1.n2n1.n2?1 2?二面角B?FC?D的平面角为钝角，?二面角B?FC?D的大小为120?
31．（山东省青岛市 高三第一次模拟考试理科数学）如图,几何体ABCD?B1C1D1中,四边形ABCD为菱
17
形,?BAD?60,AB?a,面B1C1D1∥面ABCD,BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD,且
BB1?2a,E为CC1的中点,F为AB的中点.
(Ⅰ)求证:?DB1E为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角B1?DE?F的余弦值.
D1B1EDAC1CFB
【答案】解:(I)连接BD,交AC于O,因为四边形ABCD为菱形,?BAD?60,所以BD?a 因为BB1、CC1都垂直于面ABCD,?BB1//CC1,又面B1C1D1∥面ABCD,?BC//B1C1 所以四边形BCC1B1为平行四边形 ,则B1C1?BC?a 因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD,则DB1?DB2?BB12?a2?2a2?3a
a26aDE?DC?CE?a??
22222a26aB1E?B1C?C1E?a?? 2221226a2?6a2所以DE?B1E??3a2?DB12
422所以?DB1E为等腰直角三角形
(II)取DB1的中点H,因为O,H分别为DB,DB1的中点,所以OH∥BB1以OA,OB,OH分别为
,
x,y,z轴建立坐标系
18
zD1C1B1EHDCOxA则D(0,?FBy
a32a3a,0),E(?a,0,a),B1(0,,2a),F(a,,0) 2222443a233a,,a),DF?(a,a,0) 22244所以DB1?(0,a,2a),DE?(?设面DB1E的法向量为n1?(x1,y1,z1), 则n1?DB1?0,n1?DE?0,即ay1?2az1?0且?令z1?1,则n1?(0,?2,1)
设面DFE的法向量为n2?(x2,y2,z2), 则n2?DF?0,n2?DE?0即3a2ax1?y1?az1?0 222333a2ax2?ay2?0且?ax2?y2?az2?0 44222令x2?1,则n2?(1,?326,) 33则cosn1,n2626?2233,则二面角B1?DE?F的余弦值为 ??22183?1??3332．（ 临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图,四边形ABCD为矩形,PD?平面
ABCD,PD//QA,QA=AD=
1PD 2(I)求证:平面PQC?平面DCQ; (Ⅱ)若二面角Q-BP-C的余弦值为?3AB,求的值 5AD19
【答案】
20
33．（山东省滨州市 高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P?ABCD中,PA?底
面ABCD,?DAB为直角,AB∥CD,AD?CD?2AB,E,F分别为PC,CD的中点. (Ⅰ)求证:CD?平面BEF;
(Ⅱ)设PA?kAB(k>0,且二面角E?BD?C的大小为30,求此时k的值.
【答案】
34．（山东省济南市 高三3月高考模拟理科数学）已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是等腰梯
形
,AB//CD,且
21
AC?BD,AC与BD交于O,PO?底面ABCD,PO?2,AB?2CD?22,E、F分别是
AB、AP的中点.
(1)求证:AC?EF; (2)求二面角F?OE?A的余弦值.
PFDCOAEB第18题图
【答案】证明:(1)E、F分别是AB、AP的中点.
EF是PB的中位线,?EF//PB,-----
由已知可知PO?ABCD,?PO?AC,
AC?BD,?AC?面POB,
PB?面POB?AC?PB----------------------------------5
分 ?AC?EF.
PFDCOAEB
(2)以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建系{OB,OC,OP}
22
z PFDOAEBCy x
由题设,OA?OB?2,OC?OD?1,
A?0,?2,0?,B?2,0,0?,C?0,1,0?,D??1,0,0?,P(0,0,2)
OE?(1,?1,0),OF?(0,?1,1),
设平面OEF的法向量为m?(x,y,z)
??m?OE?0可得m?(1,1,1), ????m?OF?0平面OAE的法向量为n?(0,0,1) 设二面角F?OE?A为?,
cos??m?n3 ?|m||n|335．（山东省潍坊市 高三第二次模拟考试理科数学）已知正三棱柱ABC?A1B1C1中,AB =2,AA1?3,点
D为AC的中点,点E在线段AA1上 (I)当AE:EA1?1:2时,求证DE?BC1;
(Ⅱ)是否存在点E,使二面角D-BE-A等于60若存在求AE的长;若不存在,请说明理由
【答案】
23
36．（山东省潍坊市 高三上学期期末考试数学理（A））如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA?面ABEF,
且DA=1,AB//EF,AB?1EF?22,AF?BE?2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点. 2(I)求证:PQ//平面BCE; (II)求证:AM?平面ADF; 【答案】
24
37．（山东省泰安市 高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如图在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED?平面ABCD,FB//ED,且AD=DE=2BF=2.
(I)求证:AC?EF;
(II)求二面角C—EF—D的大小;
(III)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG//平面CEF,并证明你的结论.
【答案】
25
分别以OG,OD,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz, 在RtDAOF中,AF=2,?AFO60?,则FO=1,OA=3,
\\F(0,-1,0),A(0,0,3),D(0,3,0),C(2,1,0)
uuur3),CD=(-2,2,0),
uuurìn?AD0ì??3y-3z=0?镲即设平面ACD的一个法向量n=(x,y,z)则眄uuu, r镲镲??n?CD0?-2x+2y=0令z=uuur\\AF=(0,-1,-uuur3),AD=(0,3,-3,得y=1,x=1,
\\n=(1,1,3),
uuur|-1-3|2则cos
52′5\\直线AF与平面ACD所成角的正弦值为25 545．（山东省枣庄市 高三3月模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)
如图所示的几何体中,ABCD是等腰梯形,AB//CD,ACFE是矩形,平面ACFE⊥平面
ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB=
?2.
(1)若M?EF,AM//平面BDF,求EM的长度; (2)求二面角B—EF—C的平面角?的大小.
【答案】
36
46．（山东省临沂市 高三5月高考模拟理科数学）如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使DB=3. (Ⅰ)求证:平面AOD⊥ABCO;
(Ⅱ)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.
37
D D O C O C A B A 第20题图
B
【答案】(Ⅰ)∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点, ∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90o,即OB⊥OA. 取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=2222, 2在Rt△BOH中,BH=BO+OH=
5, 2在△BHD中,DH+BH=(22222225)??3,又DB2=3, 22∴DH+BH=DB,∴DH⊥BH.
又DH⊥OA, OA∩BH=H ∴DH⊥面ABCO, 而DH∈平面AOD,
∴平面AOD⊥平面ABCO.
(Ⅱ)解:分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
B(0,2,0),A(2,0,0),D(2222,0,),C(?,,0). 22222222,0,),BC?(?,?,0). 2222D z ∴AB?(?2,2,0),AD?(?设平面ABD的一个法向量为n?(x,y,z),
??2x?2y?0,??n?AB?0,?由?得? 22x?z?0,??n?AD?0,???22即x?y,x?z,令x?1,则y?z?1,
x A O H C B y 取n?(1,1,1).
设?为直线BC与平面ABD所成的角, 则sin??BC?nBC?n?26?. 3338
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为6. 347．（山东省淄博市 高三上学期期末考试数学（理））如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA?面ABEF,
且DA=1,AB//EF,AB?12EF?22,AF?BE?2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点. (I)求证:PQ//平面BCE; (II)求证:AM?平面ADF;(III)求二面角,A—DF—E的余弦值.
【答案】
39
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