2014-2015(2)微积分期末试卷A及答案

卷 试 2A 学学号等数 高 期 学 名2第姓 学年 5 10 2 / 4 10 2 院级学班工业级及轻年州业郑专

考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它） 6.设f(x,y)是连续函数，则?11?x0dx?0f(x,y)dy可积分换序为----( B )

题号 一 二 三 四 五 六 总分 1?x11-7 8-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (A) ?11?y0dy?0f(x,y)dx； (B) ?0dy?0f(x,y)dx； 得分 (C) ?1111?x 0dy?0f(x,y)dx； (D) ?0dy?0f(x,y)dx.

线《高等数学A2》期末考试试卷A

7.函数f(x)?ln(1?x)展开成x的幂级数为------------------（ C ）

适用专业：经管各专业

本试卷共3页，六大题23小题，总计100分

得 分 ??(?1)nxn?；xn (A) 一、选择题（7小题，每小题3分，共21分）

n?1n (B) ?；

n?0n!评卷人

?nxn?1?)xn?1 (C) 1.下列等式成立的是---------------------------------------（ C ） ?(?1n?0n?1； (D) ?.

n?0(n?1)! (A) ?f?(x)dx?f(x)； (B) d?f(x)dx?f(x)；

得 分 (C) d?f(x)dx?二、填空题（7小题，每小题3分，共21分） dxf(x)； (D) ?df(x)dx?f(x).

评卷人 订

2.差分方程yn?1?yn?1?f(n)的阶数为-------------------------( B ） 2x (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4. 8.lim?0esintdtx?0x? 2 . 3.平面?xx1:x?2y?2z?1?0与平面?2:x?y?5?0的夹角余弦为-（ A ） 9.二阶常系数线性微分方程y???5y??6y?0的通解为 y?C1e2?C2e3 . (A)

210.设a??{1,0,2}，b??{0,1,2}，则a??b?? {?2,?2,1} . 2； (B) 32； (C) 12； (D) 1. x4.yOz面上的圆y2?z2?9绕z轴旋转所成的旋转曲面方程为----( D ) 11.曲面x22?y2?z?0在点(2,1,3)处的法线方程为?22?y?12?z?3?1. (A) y2?(x?z)2?9 ； (B) (x?y)2?z2?9；

12.已知z?x2?y2，则dz?xyx2?y2dx?x2?y2dy .

装 (C) y2?x2?z2?9； (D) x2?y2?z2?9.

13.设z?x2siny，则zxy? 2xcosy . 5.二重极限limsin(xy2)x?0的值为-------------------------------（ D ）

y?2x?幂级数?(?1)nxn14.的收敛域为 (-1，1] . (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 4.

n?1n第 1 页/共 3 页 节 约 用 纸 两 面 书 写

三、计算题（6小题，每小题6分，共36分） 得 分 评卷人 15.计算不定积分?xcosx dx.

(1,1),(2,2),(2,1)，................................1分 222x 则

??x2yd???xdx?1ydy .....................4分 解：原式=?x dsinx...........................2分

D1x =xsinx??sinx dx....................4分 ?12 =xsinx?cosx?C....................6分 2?1(x4?1)dx?135.................6分

得 分 ?sinx得 分 ?x2?y2评卷人 16.计算定积分?2??dx. 评卷人 19.计算二重积分，其中D是圆环域21?cosx??ed?D 解：设f(x)?sinx，易见f( 1?21?cosx?x)??f(x)，...2分

x?y2?4.

所以f(x)是[???r?22,?2]上的奇函数 .........4分 解：在极坐标下，圆环的表示为1，积分区域

?sinx D?{(r,?)|1?r?2,0???2?}，.......2分 故?2??21?cosxdx?0.................6分 则

??e?x2?y2d???2?2?r2?xD0d??1erdr.......4分

得 分 17.求一阶线性微分方程y??y?e的通解.

评卷人 解：易知P(x)?1,Q(x)?e?x，................2分

?2??2?r21erdr??(e?1?e?4)

则通解为y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?C)

.........................6分 得 分

?e??dx(?e?xe?dxdx?C).........4分

评卷人 ?2n20.判断级数? ?e?x(x?C)..................6分 1n2的敛散性.

n?2得 分 评卷人 18.计算二重积分

??x2yd?，其中D是由x?2，y?x 解：因为??limun?1?lim2nn??unn??(n?1)2...........2分 D ?2?1，...............4分 及xy?1所围成的闭区域.

由比值审敛法知，原级数发散............6分

解：画图可知，D为X-型区域，且曲线的交点分别为

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线 订 装

四、分析题（本题8分） 得 分

? 评卷人 xn?121．求幂级数?的收敛域，并求出它的和函数．

n?0n?1?z?z?x?z?y?z?z ???(?rsin?)?rcos?，

???x???y???x?y............4分

则

线 an?11an???lim|n?1|?lim?1n??n??n?1ann?222．解：令，因为，故

收敛半径为1，.....2分

收敛区间为(-1,1)，在x?1处，级数为

???z??1??z??z1??z?z??z???????cos??sin??(?rsin?)?rcos? ???2?2?????y?yr????r??x??r???x????1??z1??z??z???z????sin??rsin??rcos? ??cos??????22???y?? ?x?x?yrr??????????z???z?? ?????. ????x???y?.....................................6分

22222222221，该级数发散， ?n?1n?0

? 在x??1处，级数为

??(?1)n?0n?11，该级数收敛，因此收敛域为[-1,1)....4分 n?1六、应用题（本题8分） 得 分 23. 要制造一个带盖的长方体水槽，已知它的底部和顶部造价为每平方米18元，侧面造价为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽的

容积最大？最大容积为多少？

解：设水槽的长为x米，宽为y米，高为z米，则容积为 评卷人 ?1xn?1n 设S(x)??，则S?(x)??x?，

1?xn?0n?0n?1订 又

?x0S?(x)dx?S(x)?S(0),S(0)?0,所以

x S(x)??0?1S?(x)dx??dx??ln(1?x)，

01?xxxn?1 即???ln(1?x),(?1?x?1)....................................8分

n?0n?1

V?xyz(x?0,y?0,z?0)

yz?18，作拉格朗日函数

由题设知，约束条件为3xy?xz?五、证明题（本题6分） 得 分 评卷人 22. 设z?f(x,y)为二元可微函数，又假设

x?rcos?,y?rsin?，试证明：

2 L(x,y,z)?xyz??(3xy?xz?yz?18)，......................3分

1??z? ???2r??r???z???z???z??????????y?? ???x??????222?Lx?yz??(3y?z)?0,?L?xz??(3x?z)?0,?y 得方程组?解之得x?y?1,z?3...........6分

?Lz?xy??(x?y)?0,??3xy?xz?yz?18, 由问题本身可知最大值一定存在，且可能的极值点只有一个，所以当长为2m,宽为2 m，高为32m时，水槽容积最大，最大容积为V立方米......8分

装 ?z?z?x?z?y?z?z???cos??sin?，证明：因为 ?r?x?r?y?r?x?y..................2分

?2?2?32?62第 3 页/共 3 页 节 约 用 纸 两 面 书 写

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