立体几何基础题题库一C

证：PR⊥AB于R，PS⊥BC于S. 则：∠PRB＝∠PSB＝90°. ∵PB＝PB.∠PBR＝∠PBS ∴RtΔPRB≌RtΔPSB ∴PR＝PS

∵点Q是点P在平面α上的射影. ∴QR＝QS

又∵QR⊥AB，QS⊥BC ∴∠ABQ＝∠CBQ

316. 如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)

解 ∵四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为②，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为③，在前后侧面上四边形投影图形也为②.故应填②③.

317. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )

A.

30 10 B.

1 2 C.

30 15 D.

15 10解 连D1F1，则D1F1⊥A1C1，又BC⊥CA，所以BD1在平面ACC1A1内的射影为CF1，设AC＝2a，则BC＝CC1＝2a.取BC的中点E，连EF1，则EF∥BD1.

∴cosθ1＝cos∠EF1C＝

CF15a5＝＝， EF16a6(5a)2?(5a)2?(2a)23cosθ2＝cos∠AF1C＝＝，

52?5a?5a∴ cosθ＝cosθ1·cosθ2＝

5330·＝，应选A.

1056

318. (1)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ΔABC

内，那么O是ΔABC的( )

A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心

(2)设P是ΔABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，那么P在平面α内的射影是ΔABC的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ΔABC的三边的距离相等，因而O是ΔABC的内心，因此选D.

(2)如图所示，作PO⊥平面α于O，连OA、OB、OC，那么∠PAO、∠PBO、∠PCO分别是PA、PB、PC与平面α所成的角，且已知它们都相等.

∴RtΔPAO≌RtΔPBO≌RtΔPCO. ∴OA＝OB＝OC ∴应选B.

说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.

319. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.

解析：注意到直线BD∥平面EFG，根据直线和平面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离. 解 连结AC、BD，设交于O，∵E，F分别是AB、AD的中点. ∴EF∥BD

∴BD∥平面EFG，设EF∩AC＝M. 则M为OA的中点.

又AB＝4 ∴AC＝42，MO＝∵GC⊥平面ABCD ∴GC⊥CA，GC⊥EF 又EF⊥AC，GC∩AC＝C. ∴EF⊥平面GCM.

∴过O作OH⊥GM于H，则OH⊥EF. 又OH⊥GM 故OH⊥平面EFG.

22在RtΔGCM中，GM＝GC?CM＝2?(32)＝22.

2213AC＝2,MC＝AC＝32 44又∵OH⊥GM.∴sin∠GMC＝

OHGCOH＝sin∠HMO＝＝

OMGM2∴OH＝2·

2112＝

1122211 11∴B点到平面GEF的距离为

说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.

320. 已知两条异面直线a,b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n.求证：EF＝m?n?d?2mncos?

222

解 过A作a′∥a. ∵AA1⊥a, ∴A1A⊥a′ ∴AA1⊥b,a′∩b＝A

∴A1A垂直a′、b所确定的平面α.

∵a∥a′ ∴a、a′能确定平面β，在β内作EH∥A1A，交a′于H. ∵a∥a′，∴A1AME为平行四边形. ∴A1A＝EH＝d,AH＝A1E＝m ∵A1A⊥α ∴EH⊥α. ∵FH?α， ∴EH⊥FH.

22在RtΔFHE中，EF＝EH?FH＝d?FH

22∵a′∥a ∴a′与b的夹角为θ. 即∠HAF＝θ，此时AH＝m,AF＝n. 由余弦定理得 FH＝m+n-2mncosθ ∴EF＝m?n?d?2mncos? 当F(或E)在A(或A1)的另一侧时，同理可得

2222

2

2

???)＝m?n?d?2mncos? EF＝m?n?d?2mncos(综上所述，EF＝m?n?d?2mncos?

321. 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，

求证：MN∥平面CBE.

222222222

解析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.

证：连AN并延长交BE的延长线于P. ∵ BE∥AF，∴ ΔBNP∽ΔFNA. ∴

FNANFNAN＝，则＝. NBNPFN?NBAN?NPFNAN＝. FBAPAMACAMFN＝，＝， FNBFACBFAMAN＝. ACAP即

又

∴

∴ MN∥CP，CP?平面CBE. ∴ MN∥平面CBE.

322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行. 已知：α∩β＝a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.

解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质. 证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b. 过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c. ∴ b∥c，显然c?β.∴ b∥β. 又 b?α，α∩β=a，∴ b∥a. 又 l∥b. ∴ l∥a.

评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.

323. 如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC＝1∶2，SQ∶SB＝2∶3，SR∶RD＝2∶1.求证：SA∥平面PQR.

立体几何基础题题库一C（有详细答案）

201. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。

解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径

23， 3它是Ｒｔ△中60所对的边，其斜边为

025644，即球的半径为，∴V??； 3381202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。

解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为O1,O2 ，连结AO2与BO1并延长，必交于CD的中点E，又

336a，连接BO2，在Rt△BO2E中，BO2?a，O2E?,连结AO1与BO2交于O3，由Rt△AO2O3?623Ｒｔ△BO1O2，∴O2O3?O3O1,O3A?O3B，同理可证O3C?O3D?O3A,O3到另二面的距离也等O3O1， BE?∴O3为四面体外接球与内接球的球心，由△BO1O3∽△BO2E，∴O1O3?6a， 12∴R外?6361a,S外??a2,r内?a,S内??a2 42126203. 在RtΔABC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后，设∠

AEC＝α，

求证：2cosα-cosβ＝-1.

解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可证得.

204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.

解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝90； 205. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点， （１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.

(1) 解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中，

0Ａ Ａ

Ｂ Ｄ Ｅ Ｃ

Ｄ Ｂ

Ｅ

易知BE＝

111BC１＝５，DE＝５，BD＝43，在△BDE中，cos∠BED＝，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为 2252500206. 已知（如图）：三棱锥P—ABC中，异面直线PA与BC所成的角为90，二面角P—BC—A为60，△PBC和△ABC

的面积分别为16和10，BC＝４.

求：（１）PA的长；（２）三棱柱P—ABC的体积VP?ABC 解析：

Ａ Ｃ

Ｐ

Ｂ

0(1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝60，

可算出PD＝８，AD＝５，∴PA＝７;(2)Ｖ＝

403 3207. 如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，?ACF的面积为72，求?BDE的面积。

解析： 求?BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知?ACF的面积，若?BDE与?ACF的对应边有联系的话，可以利用?ACF的面积求出?BDE的面积。

（提示：①?ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则?ABC的面积S＝解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE

同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC= sin∠EBD.

1absinθ,②sinα=sin(180°-α) 2BEQB1211???，∴BE＝AF

2AFQA242ACPA937由BD//AC，得：???，∴BD＝AC

3BDPB2171又∵?ACF的面积为72，即AF·AC·sin∠FAC＝72，

2由 AF∥BE，得

P F A C α 1∴S?DBE＝ BE·BD·sin∠EBD

2117 ＝· AF·AC·sin∠FAC

223717 ＝· AF·AC·sin∠FAC＝×72＝84

626∴?BDE的面积为84平方单位。

208. a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题，

E B Q 图2－33

D β a//c?a//???//c??a//b?a//b ② ③?????//? b//c?b//???//c??//???//c?a//????//???//a④ ⑤ ⑥ ?????//a

?//??a//c??//??①

其中正确的命题是（ ）

A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①④ D. ①④⑤⑥

解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。 解答: ①三线平行公理，

②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面 ③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行 ④面面平行传递性，

⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内， ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，

故①④正确 ∴应选C。

209. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为α，AC与BC1所成的角为β，A1C1与CD1所成的角为γ。 求证：α＋β＋γ＝π

解析：作如图的辅助线

则∠AB1C为AB1与A1D所成的角∠AB1C＝α

∵AB?//A1B1?//C1D1

∴BC1//AD1，故∠D1AC为AC与BC1所成的角∠D1AC＝β ∵AA1?//DD1?//CC1，∴A1C1//AC

∴∠D1CA即为A1C1与CD1所成的角∠D1CA＝γ

在△ACD1和△ACB1中，AB1＝CD1，B1C＝D1A，AC＝CA ∴△ACD1≌△CAB1，故∠AB1C＝∠AD1C，故∠AD1C＝α 在△AD1C中，∠AD1C＋∠D1CA＋∠D1AC＝π 即：α＋β＋γ＝π

B1

A1

B

D a D1 C1

C

A 210. 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。 （已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ。） 图2－ 作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f

α ?a//c?解析：如图2－ ，

b ?//????b//d???a//e?a//????????//?

?c//e??b//f?b//???//?????d//f?c β

d

γ

211. 下列说法中正确的是（ ）： 面α内的无数条直线，则l//α α外，则a//α

C. 若直线a//b，直线b?α，则a//α

D. 若直线a//b，b?α，那么a就平行于平面α内的无数条直线

e f A. 直线l平行于平B. 若直线a在平面

解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。

解答: 由直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除A 直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除B

直线a//b ，b?α只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除C a//b，b?α，那么a?α或a//α，故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择D

A F

点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不D N M B E C 图2－20

G 可。 。

212.如图2－20，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN//平面BCE。

解析： 要证MN//平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。 证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。 由AF//BG，知

ANFNAM，故MN//CG，MN?平面BCE，CG?平面BCE，于是MN//平面BCE。 ??NGNBMC A1 A ∥ D1 E D B C1 B1 C 点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。 213. 如图2－21，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点， （1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系， 并证明你的结论。 （2）求?ACE的面积。 证明（1）：连结BD，令BD∩AC＝F。 ∵BD1和过A、C、E三点的平面平行， 则F是DB的中点，又E是DD1的中点， ∴EF∥BD1

又EF?平面ACE，BD1?平面ACE， ∴BD1∥平面ACE

（2）在正方形ABCD中，AB＝2，AC＝22，∴AF＝2 在直角△ADE中，AD＝2，DE＝1，∴AE＝5

在Rt△EAF中，EF＝EA?AF＝5?2＝3 ∴s?ACE?22D1 E D F C1 B1 C B A1 A 1?22?3?6 2图2－

214. 直线a//直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论

证明：假设直线b与α不相交，则b?α或b//α

(1)若b?α，由a//b，b?α，a?α?a//α，与a与平面α相交矛盾，故b?α不可能。

(2)若b//α，又a// b，a，b可以确定平面β，设α∩β＝c，由c?α,知b与c没有公共点，又b、c同在平面β内，故b//c，又a//b，故a//c，c?α，a?α?a//α，这与a与平面α相交矛盾。故b不平行α。 综上所述，b与α必相交。

215. 如图2－22：在长方体AC1中， （1）求证：BC1//平行平面AB1D1

（2）若E、F分别是D1C，BD的中点，则EF//ADD1A1

//DC?//AB 解析：（1）∵D1C1?∴ABC1D1是平行四边形 BC1//AD1

又BC1?平面AB1D1，又AD1?平面AB1D1

BC1//平面AB1D1

（2）证明：连结AF、CF、AD1，

∵ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线， 且F是AC的中点，又E是CD1的中点

∴EF//AD，又EF?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1， ∴EF//平面ADD1A1

216.在正方体木块ABCD－A1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C1移动； ⑴点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动； ⑵点P每一变化位置，都使P点到C1点的距离缩短。

D1 A1 D F C1 E B1

C

A B 图2－22

动点P共有_________种不同的运行路线。

解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从B到C1，就有3种不同路线） 经过一条边，一条对角线的情况有6种，

A?B?C1，A?A1?C1，A?D?C1

A?B1?C1，A?C?C1，A?D1?C1

经过三条边的情况有6种：

A?B?B1?C1，A?B?C?C1，A?D?C?C1

A?D?D1?C1，A?A1?B1?C1，A?A1?D1?C1

217. 判定下列命题的真假

（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面； （2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直； （3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。

解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的， D1 C1 如图2－55，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD， B1

A 1在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1

与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以D C 看出：线在面内这一条件的重要性；

A B （2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正

方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1?平面ADD1A1，AB?平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与图2－55 AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直； D1 C1 （3）如图2－56：正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1?平面ADD1A1，AC?平面ABCD，

B1

A1 AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直

D C

解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题。

A B 点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：①两个平面垂

直；②直线必须在其中一个面内；③直线必须垂直它们的交线。

218.已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求证：a⊥α。 解析： 此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。

证法1:如图2－57：在α内取一点P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B， 则PA⊥a，PB⊥a，又PA?α，PB?α，PA∩PB＝P，∴ a⊥α。

证法2：如图2－58，在a上任取一点Q，作QC ⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β， 又β⊥α，∴QC?β，同理可证QC?γ，∴QC为β与γ的交线a，∴ a⊥α。 证法3：如图2－59，在a上取点R，在β内作RD垂直于α、β的交线l于D，

∴RD⊥α，同法在γ内，作RE垂直于α，交α与γ的交线m于E，则RE⊥α，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，∴RD、RE重合，则它既包含于β，又包含于γ，

∴ a⊥α。

证法4：如图2－60，在β、γ内分别取M、N分别作α、β的交线l和α、γ的交线m的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。

点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。

β M

a N γ 图2－56

解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°

在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a， 则PB＝a,AB＝2a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中， ∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝3a.

22∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝PA?PC＝a?(3a)＝2a

22(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB， ∴BC在平面PBC上的射影是BP. ∠CBP是CB与平面PAB所成的角

∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°. (2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a. ∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM. ∴AB⊥平面PCM.

说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.

309. 在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.

解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.

解 (1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC. ∴BH⊥BC，AH⊥AC

∵AC⊥BC，∴平行四边形ACBH为矩形. ∵HC⊥AB，∴ACBH为正方形. ∴HB＝HA

∵PH⊥平面ACBH.∴ΔPHB≌ΔPHA.

∴∠PBH＝∠PAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为∠PBH，∠PAH.由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，与∠PBH＝∠PAH矛盾. ∴PC不垂直于AB.

(2)由已知有PH＝h,∴∠PBH＝45° ∴BH＝PH＝h.∵∠PAH＝30°，∴HA＝3h.

22∴矩形ACBH中，AB＝BH?HA＝h?(3h)＝2h.

22作HE⊥AB于E，∴HE＝

3HB?HAh?3h＝＝h.

22hAB∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB，

由三垂线定理有PE⊥AB，∴PE是点P到AB的距离.

22在RtΔPHE中，PE＝PH?HE＝h?(2327h)＝h. 22即点P到AB距离为

7h. 2评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.

310. 平面α内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NH⊥SB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?

解析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.

解 (1)连AM，BM.∵AB为已知圆的直径，如图所示. ∴AM⊥BM，

∵SA⊥平面α，MB?α， ∴SA⊥MB.

∵AM∩SA＝A，∴BM⊥平面SAM. ∵AN?平面SAM， ∴BM⊥AN.

∵AN⊥SM于N，BM∩SM＝M， ∴AN⊥平面SMB.

∵AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影 ∴NH⊥SB.

(2)由(1)知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM.AN⊥平面SMB. ∵SB⊥AH且SB⊥HN. ∴SB⊥平面ANH.

∴图中共有4个线面垂直关系 (3)∵SA⊥平面AMB，

∴ΔSAB、ΔSAM均为直角三角形.

∵BM⊥平面SAM，∴ΔBMA，ΔBMS均为直角三角形. ∵AN⊥平面SMB.∴ΔANS、ΔANM、ΔANH均为直角三角形. ∵SB⊥平面AHN. ∴ΔSHA、ΔBHA、ΔSHN均为直角三角形 综上所述，图中共有10个直角三角形.

(4)由SA⊥平面AMB知：SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM； 由BM⊥平面SAM知：BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN； 由AN⊥平面SMB知：AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH； SB⊥平面AHN知：SB⊥AH，SB⊥HN； 综上所述，图中有11对互相垂直的直线.

311. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AE＝点B到平面MEF的距离.

11AD，F在AB上，且AF＝AB，求33

解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF∥BD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC⊥面MEF，而MR是交线，所以作OH⊥MR，即OH⊥面MEF，OH即为所求. ∵OH·MR＝OR·MC，

∴OH＝

118a. 59解法二：考察三棱锥B—MEF，由VB-MEF＝VM-BEF可得h. 点评 求点面的距离一般有三种方法： ①利用垂直面；

②转化为线面距离再用垂直面；

③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.

312. 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离. 解法1 如图所示，A1C1∥平面AB1C，又平面BB1DD1⊥平面AB1C. 故若过O1作O1E⊥OB1于E，则OE1⊥平面AB1C，O1E为所求的距离 由O1E·OB1＝O1B1·OO1，

可得：O1E＝

3a 3

解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1—AB1C的高h.

由 VC1?AB1C＝VA?B1CC1，可得h＝

3a. 3解法3 因平面AB1C∥平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得

FG＝

3a. 3点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

313..已知：α∩β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，求证：CD⊥AB.

314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.

已知：a∥b，a∩α＝A1,b∩β＝B1，∠θ1、∠θ2分别是a、b与α所成的角.如图，求证：∠θ1＝∠θ2.

证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1＝BB1，连结AB和A1B1. ∵AA1∥BB1

∴四边形AA1B1B是平行四边形.∴AB∥A1B1 又A1B1?α ∴AB∥α.

设AA2⊥α于A2，BB2⊥α于B2，则AA2＝BB2 在RtΔAA1A2与Rt?BB1B2中 AA2＝BB2，AA1＝BB1 ∴RtΔAA1A2≌RtΔBB1B2 ∴∠AA1A2＝∠BB1B2 即 ∠θ1＝∠θ2.

315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.

已知：∠ABC?α,Pα,∠PBA＝∠PBC,PQ⊥α，Q∈α，如图.

求证：∠QBA＝∠QBC

（2）在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行； （3）若两个平面相交，那么分别在这两个平面内的两条直线也相交； （4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也平行； （5）一条直线与两个平行平面所成的角相等；

（6）一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么一定平行于另一个平面． 解析：（1）不正确．两个平面还可能相交于一条直线；

（2）不正确．两个平面可能相交，这三条直线均与交线平行；

（3）不正确．分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行，它们都平行于交线； （4）不正确．两条直线还可能异面；

（5）正确．无论直线与两个平面相对位置如何，直线与两个平面所成的角都相等； （6）不正确．直线可能在另一个平面上． 283. 平面??∥平面? ，a

??，b? ，则a、b一定是（ ）．

A．两条平行直线 B．异面直线

C．相交直线 D．无公共点的两条直线 解析：D．??∥??，则平面??与??无公共点，a、b一定无公共点． 284. 下列命题中，不正确的是（ ）．

A．一直线和两个平面? 、??所成的角相等，那么??∥? B．平面??∥平面??，则??内的任意直线平行于平面?

C．一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

解析：A．直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A命题不正确．三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面．

285. 若a∥b，a⊥??，b⊥??，则??、??这两个平面的位置关系是________．

平行．a??? ??b????//? ．?a//b??b???解析：

286. 夹在两平行平面??、??间的线段AB=8，AB与??所成的角为45°，那么??、??间的距离等于________． 解析：42．如图答9-27，过A作AH⊥??，交??于H，AH为平面??与??间的距离．连结BH，则BH是AB在平面??内的射影，∴ ∠ABH=45°．∵ AB=8，∴ AH?AB?sin45?

?8?2 ?42．2287. ．三个不同平面??，??，??满足??∥??，??∩??=l，则??与??的位置关系是________；若三个平面满足??∥??，??∥??，则??与??的位置关系是________．

解析：相交；平行．作直线l⊥??，∵ ??∥??，∴ l⊥??，∵ ??∥??，∴ l⊥??．∴ ??∥??．当??∥??，??∩??=l，假设??与??不相交，则??∥??，∵ ??∥??，由前面证明可知??∥??，这与??、??相交矛盾．∴ ??与??相

交．

288. 已知直线a

平面??，直线b

平面??，??b，a∥??，b∥??．求证：??∥??．

解析：如图答9-29，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面??与平面??交于直线c，则c与b相交于点P．

a//?a???????a//c?????c??a??c???????c//??b//??

????a//? ．b?c?P??

图答9-29

289. ．B．A不正确是因为直线b可以在平面??内，也可能与??平行，还可能与??相交但不成直角，C中的直线b只与

??内的直线a垂直，不能得出垂直??的结论．D中??、??可能相交，??内的两条直线均与交线平行 290. 给出以下命题：

①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一个平面的两条直线平行； ⑤平行于同一条直线的两个平面平行；

⑥垂直于同一条直线的两个平面平行； ⑦平行于同一个平面的两个平面平行．

其中正确的命题是________（把你认为正确的命题的序号都写上）．

解析：①、④、⑥、⑦．由公理4知①正确．由直线与平面垂直的性质定理知④正确．由两个平面平行判定定理可以推导出⑥、⑦正确．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交． 291. 给出下列命题，错误的命题是（ ）． A．若直线a

平面??，且??∥平面??，则直线a与平面??的距离等于平面??、??间的距离

B．若平面??∥平面??，点A∈??，则点A到平面??的距离等于平面??、??间的距离

C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离

解析：C．以下按顺序说明，对A中，在a上任取一点P，作PH⊥??，PH为直线a与平面??的距离．∵ ??∥??，PH⊥??，∴ PH又为??、??间的距离．对于B，作AH⊥??，AH的长为点A到??的距离．又∵ ??∥??，∴ AH⊥??，于是AH的长是??、??两个平行平面间的距离．

对于C，设a∥b，a??，b??，过a上任一点P作PQ⊥b于Q，则PQ的长为a、b两平行直线间的距离．因为PQ与??、??不一定垂直，所以PQ的长一般不是??、??间的距离，一般地说，a、b间的距离不小于??、??间的距离． 对于D．设AA1是异面直线a、b的公垂线段，A∈a，A??b，a

??，b??，过A和b的平面与??相交于b?，则b?//b，于是AA??b?．∴ AA???．同理AA????．故AA?的长又是??、??两个平面间的距离（如图答9-30）．

292. 设??、??是两个平面，l和m是两条直线，那么??∥??的一个充分条件是（ ）． A．l

??，m??，且l∥??，m∥?? B．l??，m??，且l∥m

C．l⊥??，m⊥??，且l∥m D．l∥??，m∥??，且l∥m 解析：C．可参看图答9-31．

图答9-31

293. 平面??∥平面??，过平面??、??外一点P引直线PAB分别交??、??于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交??、??于C、D两点．已知BD=12，则AC的长等于（ ）． A．10 B．9 C．8 D．7

解析：B．如图答9-32，平面PBD∩??=AC，平面PBD∩??=BD，∵ ??∥??，∴ AC∥BD．由平面几何知识知，

PAPCAC6AC．∵ PA=6，AB=2，BD=12，∴ ，∴ AC=9． ???PBPDBD6?212

294. 已知AC，BD是夹在两平行平面??、??间的线段，A∈??，B∈??，C∈??，D∈??，且AC=25cm，BD=30cm，AC、BD在平面??内的射影的和为25cm，则AC、BD在平面??内的射影长分别为________，AC与平面??所成的角的正切值为________，BD与平面??所成的角的正切值为________．

解析：设??、??间的距离为h，AC在平面??内的射影A?C?x，BD在平面??内的射影B?D?y，根据已知条件可得

②-①得y?x?30?25，即

2222?x?y?25，?x?7，(x?y)(y?x)?302?252，把③代入得y-x=11，∴ ? 解得?即A?C?7cm，B?D?18cm．又

y?x?11．y?18．??h=24cm，AC与平面??所成的角为?ACA?，tan?ACA??

h24h244，同理tan?BDD?? ???．??AC7BD183295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．

解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等．

296. 如图9-35，平面??∥平面??，△ABC、△A?B?C?的分别在??、??内，线段AA?、BB?、CC?相交于点O，O在??、

??之间．若AB=2，AC=1，∠ABC=60°，OA∶OA?=3∶2，则△A?B?C?的面积为________．

解析：图9-35

∵ AA??BB??O，∴ AA?、BB?确定平面ABA?B?，平面ABA?B?∩??=AB，平面ABA?B????A?B?，∵ ? ∥

??，∴ AB//A?B?，同理BC//B?C?，CA//C?A?．由于方向相反，∴ △ABC与△A?B?C?的三内角相等，∴ △

3213A?B?OA?2?2??3．ABC∽△A?B?C?．且，∴ S?A?B?C????? ??． ∵S?ABC??2?1?sin60??32922ABOA3??297. 如图9-37，两条异面直线AB、CD与三个平行平面??、??、??分别相交于A、E、B，及C、F、D，又AD、BC与

平面??的交点为H、G．求证：EHFG为平行四边形．

2解析：

平面ABC???AC?平面ABC???EG??AC//EG．同理AC//HF．

? ?//???AC//FG? 故EHFG是平行四边形． ??EG//HF．同理EH//FG．AC//HF?298. 如图9-38，已知平面??∥平面??，A、C∈??，B、D∈??，E、F分别为AB、CD的中点．求证：EF∥??，EF∥??．

解析：当AB、CD共面时，平面ABCD∩??=AC，平面ABCD∩??=BD．∵ ??∥??，∴ AC∥BD．∵ E、F分别为AB、CD的中点，∴ EF∥AC．∵ AC ??，EF ??，∴ EF∥??，同理EF∥??．当AB、CD异面时，∵ E?CD，∴ 可在平面ECD内过点E作C?D?//CD，与??，??分别交于C?，D?．平面AC?BD????AC?，平面AC?BD????BD?，∵ ??∥??，∴ AC?//BD?．∵ E是AB中点，∴ E也是C?D?的中点．平面

CC?D?D???CC?，平面CC?D?D???DD?，∵ ??∥??，∴ CC?//DD?，∵ E、F分别为C?D?、CD中点，∴ EF//CC?，EF//DD?．∵ CC???，EF ??，∴ EF∥??，同理EF∥??．

299. 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F (1)求证：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD

解析： 如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证

证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC ∵矩形ABCD，∴AB⊥BC ∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE又SB⊥AE ∴AE⊥平面SBC ∴SC⊥平面AEF

∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC ∴SA⊥DC，又AD⊥DC ∴DC⊥平面SAD ∴DC⊥AG

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF ∴SC⊥AG ∴AG⊥平面SDC ∴AG⊥SD

300. 已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.

证明 如图所示，连结BO1，AO2， ∵AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心， ∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.

又BO2⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO2⊥CD. 同理连结DO1，CO2可证BC⊥AD，即CO2⊥AD. ∴O2是ΔACD垂心.

301. 正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.

解析：方法1 如图，延长B1C1到D，使C1D＝B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD，因此AB1⊥A1C.

方法2 如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1，从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C.

说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法： (1)利用线面垂直的定义；

(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线； (3)证明直线平行于平面的垂线；

(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.

302. 已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长.

解析： 如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面BCC'B'⊥底面ABC，∴AD⊥侧面BCC'B'B'D是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴B'D⊥BC′.

设BB′＝x，在RtΔB'BD中，BE∶BD＝BB'，B'D＝1?x. ∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝

211BC′＝334?x2

∴x＝

11?x2·x2?4，解得：x＝2. 3∴线段AB′在侧面的射影长为2.

303. 平面α外一点A在平面α内的射影是A′，BC在平面内，∠ABA′＝θ，?A'BC??，∠ABC＝?，求证:cosγ＝cosθ·cosβ.

解析： 过A′作A'C'⊥BC于C′，连AC′.

∵AA′⊥平面α，BC垂直AC在平面α内的射线A'C'.

∴BC′⊥AC′，cos?＝

BC?. AB

又∵cosθ＝

A?BBC?,cosβ＝， ABA?B∴cos?＝cosθ·cosβ.

304. ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的

大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ.

证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为D.

∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC. ∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ. 又S′＝

11A?DA′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝,∴S′＝S·cosθ.

AD22证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ. 305. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.

证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连

结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MN?α，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.

即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.

306. 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.

解析：不难看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1M⊥AB1，只要能证A1M⊥AC1就可以了. 证：连AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°， ∴ AC＝A1C1＝3. 设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∴ tanα＝

AA16＝＝2, A1C136MC12tgβ＝＝2＝.

2A1C13∵cot(α+β)＝

1?tan?tan?＝

tan??tan?1?12?22＝0,

∴α+β＝90° 即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1， AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影. ∵AC1⊥A1M，∴由三垂线定理得A1M⊥AB1.

评注：本题在证AC1⊥A1M时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同. 307. 矩形ABCD，AB＝2，AD＝3，沿BD把ΔBCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上. (1)求证：CD⊥AB；

(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.

(1)证明 如图所示，∵CM⊥面ABD，AD⊥AB， ∴CD⊥AB

(2)解：∵CM⊥面ABD

∴∠CDM为CD与平面ABD所成的角， cos∠CDM＝

DM CD作CN⊥BD于N，连接MN，则MN⊥BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得 DM∶CD＝CD∶CA＝AB∶AD＝2∶3. ∴CD与平面ABD所成角的余弦值为

2 3308. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.

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