《概率论与随机过程》概率论部分习题

《概率论与随机过程》

概率论部分习题

一、设A、B、C为三事件，用A、B、C运算关系表示下列事件：

1．A发生，B与C不发生：_______________________， 2．A、B、C中至少有一个发生：___________________， 3．A、B、C中至少有两个发生：___________________， 4．A、B、C中不多于一个发生。_____________________。 二、填空

1．设A、B为两个事件，且P(A?B)?0.7,P(A)?P(B)?0.5，则 （1）P(AB)?___________， （2）P(AB)?__________。 2．若事件A发生必导致事件B发生，且P(A)?0.4,则P(BA)?_______,

P(AB)?____。

3．若A、B为任意两个随机事件，如果P(A),P(B),P(AB)已知，则

P(A?B)? ______________，P(A)?_______________。

4．设有三个事件A1、A2、A3相互独立，发生的概率分别为p1、p2、p3，则这三个事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三个事件中至少有一个不发生的概率为________________。

5．若随机变量X～B（5，0.3）,则P｛X=3｝=___________________________,

P｛X≥4｝=__________________________________________。 6．设随机变量X～B(n,p)，且EX=2.4,DX=1.44,则X的分布列为

P?X?k??__________________________________________, P?X?3??__________________________________________。

7．已知随机变量X的概率密度函数为

?1f(x)?e22?(x?1)28(??,?)

1

则EX=______，DX=______，X的分布函数F(x)?__________________。 8. 设X～N（1.5,4）,则P｛︱X︱＜3｝＝_________________。

,?(2.25)?.9878) (已知?(0.75)?0.7734?2?2?x9．若X～N（?，?2），且Y?e2e2,则E(Y)?___________。

?ke?3x,x?010．设随机变量X的概率密度为f(x)?? 则常数k?_________。

x?0?0,?1?11．设随机变量X～U［1，3］，则E???_________。

?X?12．设随机变量X～π(?),且E(X2)?2,则??_________。

13．设舰艇横向摇摆的随机振幅X服从瑞利分布，其概率分布密度为

?x?x2?2e2?,x?0 f(x)???

?0,其他?2 ?＞0，则E（X）=___________。 14．已知（X，Y）的分布律为

Y X 1 2 1613191 181 2 3 ?? 且知X与Y相互独立，则?和?分别为_____,_____。 15．已知（X，Y）的分布律为

Y X 1 2 3 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1 －1 0 －1 2

则：（1）E（X）=__________， （2）E（Y）=__________。 三、单项选择题

1．一批产品共100件，其中有5件不合格，从中任取5件进行检查，如果

发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为 （ ）。

555C95C951?5?A．5 B． C．1?5 D．C5??100C100C100100??1?95??? ?100?42．设A与B相互独立，P(AB)?P(AB)且P(A)?0.4,则P(B)?（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．1 3．设离散型随机变量X的分布律为

X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若F(x)为X的分布函数，则F（1.5）=( )

A．0.8 B．0.5 C．0 D．1 4．设随机变量X的概率分布密度为

?3x2 f(x)???0,0?x?a,其他则a?( )

A．

11 B． C．1 D．2 425．设随机变量X与Y独立，其方差分别为6和3，则D（2X－Y）=（ ） A．9 B．15 C．21 D．27 6．设随机变量X与Y独立，X的概率密度为

?8? fX(x)??x3??0则E（XY）=（ ）

A．

,x?2,其他?2y,0?y?1 Y的概率密度为fY(y)??,其他?04578 B． C． D． 33333

四、计算题

1. 某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品，放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。

2. 袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A=｛恰好取得2个白球｝的概率。

3. 将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。 4. 为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b，每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92，系统b有效的概率为0.93，而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85，试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率。

5. 设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中12产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占14，已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是次品。试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。

6. 设某工厂实际上有96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以5%的概率把本来是次品的产品判为正品。试求经简易验收法被认为是正品的确是正品的概率。

7. 对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为30%；机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。

8. 两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有14的次品，从任一批中取一产品检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。

9. 由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为20%和18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概

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率。

10. 一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。

1111. 三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为15、3、4。问能

将此密码译出的概率是多少？

12. 已知某工厂生产某种产品的次品率为0.01，如果该厂以每10个产品为一包出售，并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以20个产品为一包出售，并承诺多于2个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。

13. 设有20台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为0.01，且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由3人共同维修80台设备情况又如何？

?n?k?k??n?k14. 用近似计算公式??k??p(1?p)?k!e??k?0,1,2,?,n计算上面第13题。

15. 某保险公司发现索赔要求中有15%是因被盗而提出的，现在知道1998年中该公司共收到20个索赔要求，试求其中包含5个或5个以上被盗索赔的概率。

16. 设随机变量X的密度函数为

???Acosx,??x?? f(x)??22

?其他?0,???求（1）系数A；（2）P?0?X??；（3）求X的分布函数。

4??17. 一种电子管的使用寿命为X小时，其密度函数为

?100,x?100? f(x)??x2??0,x?100

设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求 （1）使用150小时内没有一个电子管损坏的概率； （2）使用150小时内只有一个电子管损坏的概率。

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