九年级圆基础知识点--(圆讲义)

一对一授课教案

板块一：圆的有关概念 一、圆的定义：

1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．

2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“⊙O”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆：

圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 二、弦和弧 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

AB，读作弧AB． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的圆弧记作? 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 三、圆心角和圆周角 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧

为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对

的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应

的其余各组量分别相等． 板块二：圆的对称性与垂径定理 一、圆的对称性

1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合． 二、垂径定理

1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2. 推论1：⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 练习题；

1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。（ ）（2）半圆是弧，弧是半圆。（ ）（3）等圆是半径相等的圆。（ ） （4）等弧是弧长相等的弧。（ ）（5）半径相等的两个半圆是等弧。（ ） （6）等弧的长度相等。（ ） 2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）

1

A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大 3．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ）

A．1个 A．1个

B．2个 B．2个

C．3个 C．3个

D．无数个 D．无数个

4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）

5、如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；

线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．

5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm． 6．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ． 7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（ ）

A．20° B．30°

C．40° D．50°

8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

9．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，?错误的是（ ）．

??BD? C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD A．CE=DE B．BCACOCBEDOAMBAOPDBAODCEBEACFODB （5）

(1) (2) (3) （4）

10．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8

11．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，?则下列结论中不正确的是（ ）

? D．PO=PD A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．?AD?BD?中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____． 12．如图4，AB为⊙O直径，E是BC13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．

○

14（、深圳南山区，3分）如图1－3－l，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60 ，AC＝3，则△ABC的周长是____________.

15．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对

16（、大连，3分）如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°

2

则∠BOC的大小是（ ） A．60

○

B．45 C．30

○○

D．15

○

三、综合题

1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

DBEAO

C

3、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的

度数． 板块三：点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．

设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：

点在圆外?d?r；点在圆上?d?r；点在圆内?d?r. 如下表所示：

位置关系 rO图形 P定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 d?r?点P在⊙O的外部. 点在圆上 rOP点在圆周上 d?r?点P在⊙O的圆周上. 点在圆内 rOP点在圆的内部 d?r?点P在⊙O的内部.

二、确定圆的条件 1. 圆的确定

确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定． 2. 过已知点作圆

⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数

3

个．

⑵经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个． ⑶过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

⑷过n?n?4?个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心． 3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 板块四：直线和圆的位置关系 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 rdOl直线与圆没有公共点. 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点. 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线. d?r?直线l与⊙O相离 相切 rdOld?r?直线l与⊙O相切 相交 rdOd?r?直线l与⊙O相交 l

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称 相交 相切 2 d?r 1 d?r 相离 0 d?r 无 无 交点 割线 切点 切线

二、切线的性质及判定 1. 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 切线的判定

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三、三角形内切圆

1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外

4

切三角形．

2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

1、 如图，?ABC中，AB?AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是?O的切线。

ADCDBOCAOB

2、 如图，已知AB是?O的直径，BC是和?O相切于点B的切线，过?O上A点的直线AD∥OC，若OA?2且

AD?OC?6，则CD? 。

3、 如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线。

8 如图，在△ABC中?ACB?90?，D是AB的中点，以DC为直径的?O交

△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME?46， MD:CO?2:5．

（1）求证：?GEF??A． B （2）求?O的直径CD的长．

G F D M O C E A

5

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