中考数学知识点总结(完整版)

二、解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：

（l）a?b?c；（2）∠A十∠B＝90°； （3）sinA?222abab；cosA?；tanA?；cotA? ccba 所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。

例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5， 则由：

a1?sinA?sin30???c?10 c2

b3?sinB?sin60???b?53 c2?? A?B?90?B?60 ?b?53,c?10,B?60?

三、应用举例

是实际问题中的解直角三角形，或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。 例如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60°，从C点看杆顶A，仰角为30°（如图5～2）若CD长为10米，求杆AB的高。 解：设AB＝x 即tan60??xx?，tan30?， BD10?BD??x?3BD即? ??3?10?BD3x?10?13x，2x?103，∴x?53

即杆高约8．66米，应用题中要注意： （1）仰角，俯角见图5－3

（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图5—4

（3）深度、燕尾角

如燕尾槽的深度，见图5—5

（4）坡度、坡角

见图5一6坡度i＝7坡度的垂直高度h水平宽度l，i?例题：

h?tana(a叫坡角） l例1、根据下列条件，解直角三角形．

例2、在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．

分析：此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析： 如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用． 解：略

例题3如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB

坝

底宽AD(精确到0.1m)．

分析：坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：

1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件； 2．坡度问题计算量较大，学生易出错；

3．常需添加辅助线将图形分割成直角三角形和矩形． 解：略

几何部分 第六章：圆

知识点：

一、圆 1、圆的有关性质

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知：

圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l、过三点的圆

过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法

反证法的三个步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。 证明：设有两个以上是钝角 则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例如图6—1，连EF后，可得： ∠DEF＝∠B

∠DEF＋∠A＝180°

∴∠A＋∠B＝18ry ∴BC∥DA

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交?d＜r；直线和圆相切?d＝r；直线和圆相离?d＞r；直线和圆相交?d＜r

例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d

图6－3中，直线与圆O相切，r＝d 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d

八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于

这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。

∠B＝90°

则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC

九、三角形的内切圆

要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ∵分角线上的点到角的两边距离相等。 ∴两条分角线的交点就是圆心。

这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6 B、C为切点，O为圆心。 AB＝AC，∠1＝∠2 十一、弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。

推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

例如图6－7，AB为切线，

则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D ∴∠C＝∠D

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点

则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2 EM·MD=BM·MG CN·NH=DN·NE

十三、圆和圆的位置关系如图6－9 若连心线长为d，两圆的半径分别为

中考数学总复习资料

代数部分

第一章：实数

基础知识点： 一、实数的分类：

???正整数?????整数零???????有理数负整数?数??有限小数或无限循环小?????实数? 正分数??分数?????负分数??????正无理数??无理数??无限不循环小数??负无理数??1、有理数：任何一个有理数总可以写成的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001??；特定意义的数，如π、sin45°等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数?a+b=0 2、倒数：

（1）实数a（a≠0）的倒数是

p的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数q1；（2）a和b 互为倒数?ab?1；（3）注意0没有倒数 a3、绝对值：

（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：

?a,?a??0,??a,?a?0a?0 a?0（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n次方根

（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称?a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a叫实数a的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法：

（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：

（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法

1、科学记数法：设N＞0，则N= a×10（其中1≤a＜10，n为整数）。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 例题：

例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且a?b。 化简：a?a?b?b?a

分析：从数轴上a、b两点的位置可以看到：a＜0，b＞0且a?b 所以可得：

n解：原式??a?a?b?b?a?a 例2、若a?(?),34?33b??()3,433c?()?3，比较a、b、c的大小。

443?3?分析：a??()??1；b??????1且b?0；c＞0；所以容易得出：

3?4?a＜b＜c。

解：略

例3、若a?2与b?2互为相反数，求a+b的值 分析：由绝对值非负特性，可知a?2?0,又由题意可知：a?2?b?2?0 b?2?0，

所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b= –2 ，所以a+b=0 解：略

例4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，求解：原式=0?1?1?0

a?b?cd?m2的值。 m1??1???e???e??1994e???e? ?0.1251994 （2）?例5、计算：（1）8?2??2?????????解：（1）原式=(8?0.125)199422?11994?1

11??11??e???e?e???e?e?e???e?e?=e?1?1 （2）原式=?e2??22??2????????

代数部分 第二章：代数式

基础知识点：

一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类：

???单项式整式???有理式???多项式

代数式????分式?无理式?二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像x、7、2x2y，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算

（1）整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

（2）整式的乘除：

幂的运算法则：其中m、n都是正整数 同底数幂相乘：a?a?amnm?n；同底数幂相除：a?a?amnm?n；幂的乘方：

(am)n?amn积的乘方：(ab)n?anbn。

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 乘法公式：

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2；

完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)2?a2?2ab?b2 三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c) （2）运用公式法：

平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)；完全平方公式：a2?2ab?b2?(a?b)2 （3）十字相乘法：x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若ax2?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2，则有：

ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式

1、分式定义：形如

A的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 B （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 （7）有理式：整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质： （1）

AA?MAA?M?(M是?0的整式)；(M是?0的整式) （2）?BB?MBB?M （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分

式的值不变。

3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4 说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。

4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。

7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。 说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。

三、相似三角形

1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。 4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并

且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。 5、相似三角形的性质：

（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。

说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。 6、介绍有特点的两个三角形

（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。

（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6

（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。 说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 例题：

abbca?b?,?.求:b?c的值. 例1、已知：2354分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：

(1)设比值为k;

(2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.

abbc?及?2354，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设解：由

a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(b－c)=25:3.

例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，

112??EF;(3)若MN为梯形中位线，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)ADBC求证AF∥MC.

分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法.

ac?d,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ①若dab?da,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； ②若

aca'c'??''d,dd,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′. ③若d(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.

112111????ADBCEFabc”类型后： (3)证明时，可将其转化为“cc??1ab①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.

(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.

(5)用运动的观点将问题进行推广. 若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?

(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等

例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE. 分析：

(1)分解基本图形探求解题思路.

(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)

ADDE?CF 的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCADDF?BCCE,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽Δ结合中点定义得到

AFD，因此∠1=∠2.进一步可

得到AF⊥BE.

(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.

例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.

求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE. 分析：

掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.

①勾股定理：AC2+BC2=AB2. ②面积公式：AC·BC=AB·CD.

③三个比例中项：AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.

AC2AD?2BD BC⑤

证明：第(1)题：

∵ CD2=AD·BD,

∴ CD4=AD2·BD2=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC) =(AE·BF)·(AB·CD). 第(2)题：

BC2BD?BABDBDDFCE????2ADEAAE,命题得证. AD?ABADAC ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得

第(3)题：

BC2BD?ABBD??2AD?ABAD, ∵ACBC4BD2BF?BCBC3BF???423AE?ACAE ACADAC ∴,∴

第五章：解直角三角形

知识点：

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1

a cb 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA?

ca 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA?

bb 4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA?

a1 说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成tanA?）

cotA 1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA? 5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜；l

6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB

7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB 说明：式中的90°一A = B 。 8、三角函数值的变化规律

（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

9、同角三角函数关系公式

22 （1）sinA?cosB?1；（2）tanA?1sinA；（3） tanA＝ cotAcosA10．一些特殊角的三角函数值

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 9、n边形的对角线共有

1n(n?3)条。 2 说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。 11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。 二、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。 （2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形

矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。

5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 说明：要判定四边形是矩形的方法是：

法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）

法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）

法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2） 四、菱形

菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。

3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 说明：要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2） 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1） （五）正方形

正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。 注意：要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）

方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1） 方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2） 六、梯形

1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。 研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。 七、中位线

1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。

2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

八、多边形的面积

说明：多边形的面积常用的求法有：

（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。 （2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。—— （3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。 例题：

例1、如图41-2，求∠B+∠C+∠D的度数和。

例2、一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和是多少度。 分析：用多边形外角和公式就可以求解。

例3、已知：如图43-1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD内角的度数与边长。

例4、如图45-4，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，EF过O分别交BC、AD于点

E、F，且AE⊥BC，求证：四边形AECF是矩形。

例5、如图48-3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且MN⊥AB。 求证：梯形ABCD是等腰梯形。

图48-3

例6、已知：如图49-2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求证：AE=EB。

几何部分 第四章：相似形

知识点：

一、比例线段

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或

am?） bn 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例

ac? bdac?（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 bdac 5、比例内项：在比例?（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

bdac 6、第四比例项：在比例?（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

bd 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为

ab?（或a:b=b:c时，我们ba把b叫做a和d的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

aca?bc?d?，那么? bdbdacma?c???ma? 12．等比性质：如果????，（b?d???m?0），那么

bdnb?d???nb 11、合比性质：如果

说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不

易出错。 13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的

5?1倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。 2 二、平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

格式：如果直线L1∥L2∥L3， AB＝ BC， 那么：A1B1＝B1C1，如图4－l

说明：由此定理可知推论1和推论2

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。

格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图4—3 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。

R，r，则：

1、两圆外离?d ＞R＋r； 2、两圆外切?d = R＋r；

3、两圆相交?R－r＜d＜R＋r（R＞r） 4、两圆内切?d = R－r；（R＞r） 5、两圆内含?d＜R－r。（R＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 如图6－10，O1，O2为圆心，

则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2

平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外

公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。 如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长 内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。 d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，

又如图 6－13， OO1C为直角三角形。 d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14

十六、正多边形和圆

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n＞3）等分：

（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；

（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半

径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。

正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。

360? 正n边形的每个中心角等于

n 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。

边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 十七、正多边形的有关计算

(n?2)180? 正n边形的每个内角都等于

n 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 十八、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆

正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。 正五边形的近似作法； 二十、圆周长、弧长

1、圆周长C＝2πR；2、弧长L? 二十一、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：S??R；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形 注意：因为扇形的弧长L?2n?R 180n?R2? 360n?R1。所以扇形的面积公式又可写为S扇形?LR 1802 （3）弓形的面积

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。

弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图

圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）

AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，?都叫圆柱的母线。

圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。

圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。 ∴S侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8

（2）圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。 如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、?都叫圆锥的母线，母线长都相等。

圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB 半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL 例题：

例1、如图7.2-1，AB是⊙O的直径，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB，

1、求证：⊙O与CD相切； 2、若CD=3，求AD?BC.

[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识. [解答](1)过O点作OE⊥CD于E.

∵ AD⊥CD， BC⊥CD， ∴ AD∥OE∥BC，

又∵AO=BO， ∴DE=CE，

∴ OE=

1(AD+BC). 而AB=AD+BC， 2∴ OE=OA， 而OE⊥CD， ∴⊙O与CD相切. (2)连结AE、BE，∵⊙O与CD相切，

∴ OE⊥CD ， ∠ BAE=∠BEC. 而∠ BAE=∠ OEA， ∠ OEA+∠ DEA=90， ∴∠ DEA+∠BEC=90. 又∵AD⊥CD， ∴∠ DEA+∠ DAE=90，

∴∠ DAE=∠BEC， ∴ △AED∽△EBC， ∴AD?EC=DE?BC， 即AD?BC=DE?EC=

???19CD2=. 24 例2、如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,

则OD= .

[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.

[解答]由三角形的中位线定理知OD=

1BC 2? 例3、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于（ ）. A 、

4535 B、 C、 D、 5446[特色]本题考查内心的性质.

[解答] 过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则（4-R）∶4=R∶1,解之得R=

4,选A. 5 例4、圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 .

[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.

[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180， ∴x+3x=180， ∴ x=45.

∴∠A=45， ∠ B=90， ∠C=135， ∠ D=90. ∴ 最大角为135.

例5、如图7.5-1，O1和O2外切于点C，直线AB分别外切⊙O1于A，⊙O2于B，⊙O2的半径为1，AB=22，则⊙O1的半

径是 .

[特色]以上各题都是圆与圆的位置关系中常见的基本题型，着眼于考查学生对两圆的位置关系的理解及运用.

[解答] （1）选B，利用两圆相交，连心线垂直平分公共弦，再根据勾股定理可求得.

例6、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为 cm.

[特色]考查圆柱的表面积的计算，着眼于考查学生思维的全面性.

[解答]以边长为4cm作母线所得到的圆柱的表面积为80?cm；以边长为6cm作母线所得到的圆柱的表面积为120?cm.

例7、如图7.6-2，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部的面积是 .

[特色]考查学生对基本概念的理解以及基本运算能力.

分

222????????[解答] 答案：

?6?3.作半径，用扇形的面积减去三角形的面积. 4

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