微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1)，则这两个向量的夹角的余弦cos?=

63

2．已知a?(0,1,?1),b?(1,0,?1)，求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1)． 3．过点P(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面?z?1的交线的对称式方程为x?1?y?z?11:x?y?z?0与?2:x?y?23?1?2

5．计算lim[(3t2?1)i?t3t?2j?k]?13i?8j?k．

6．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求limt?0(f(t)?g(t))? 0 ．

7．已知r(u,v)?(u?v,u?v,uv)，其中u?t2，v?sint，则drdt?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost)

8．已知??t，??t2，则

dr(?,?)dt?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?)

469．已知?r(t)dt?(?1,2,3)，?r(t)dt?(?2,1,2)，求

2446?a?r(t)dt?b??a?r(t)dt?(3,?9,5)，其中a?(2,1,1)，b?(1,?1,0)

2210．已知r?(t)?a（a为常向量），求r(t)?ta?c

11．已知r?(t)?ta，（a为常向量），求r(t)? 1t22a?c

412．已知f(t)?(2?t)j?(logt)k，g(t)?(sint)i?(cost)j，t?0，则?d?g)dt?2?6cos4．

0dt(f第二章

13．曲线r(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为(2,3t2,et)

14．曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为(0,a,a) 15．曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为(0,a,b)

1

16．设有曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为

x?eey???1z?1e ?12e17．设有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1 第三章

18．设r?r(u,v)为曲面的参数表示，如果ru?rv?0，则称参数曲面是正则的；如果r:G?r(G)是 一一的 ，则称参数曲面是简单的．

19．如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．(坐标网;易;3分钟) 20．平面r(u,v)?(u,v,0)的第一基本形式为du2?dv2，面积元为dudv

21．悬链面r(u,v)?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类基本量是E?cosh2u,F?0,G?cosh2u 22．曲面z?axy上坐标曲线x?x0，y?y0的交角的余弦值是ax0y0(1?ax0)(1?ay0)22222 23．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2． 24

2．

2双

2曲

2抛

2物

2面r(u,v)?(a(u?v),b(u?v),2uv)2222的第一基本形式是

(a?b?4v)du?2(a?b?4uv)dudv?(a?b?4u)dv

25．正螺面r(u,v)?(ucosv,usinv,bv)的平均曲率为 0 ．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是?n(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0 27．两个方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0

28．函数?是主曲率的充要条件是

?E?L?F?M?F?M?G?N?0

29．方向(d)?du:dv是主方向的充要条件是

Edu?FdvFdu?GdvLdu?MdvMdu?Ndv?0

30．根据罗德里格定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则dn???ndr，其中?n是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面 或悬链面 第四章

32．高斯方程是rij???kkijkr?Lijn，i,j?1,2，魏因加尔吞方程为ni???Likgri，i,j?1,2

j,kkjij33．g用gij表示为(g)?ij?g22?det(gij)??g121?g12??． g11?2

34．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线(C)在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C?)的曲率

35．?,?222g,?n之间的关系是???g??n．

36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 2kij37．测地线的方程为

dukdududs2???iji,jdsds?0,k?1,2

k38．高斯-波涅公式为??Kd?????gds??(???i)?2?

G?Gi?1k39．如果?G是由测地线组成，则高斯-波涅公式为??Kd???(???i)?2?．

Gi?1二、单选题

第一章

40．已知a?(?1,0,?1)，b?(1,2,?1)，则这两个向量的内积a?b为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B ?1 C 0 D 1

41．求过点P(1,1,1)且与向量a?(?1,0,?1)平行的直线?的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）A ?x?z? B x?1?y?z?1

?y?123C x?1?y?z?1 D x?y??

?z?142．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1),c?(1,1,1)，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B ?1 C 1 D ?2

43.已知r(t)?(et,t,e?t)，则r??(0)为（ A ）．（导数；易；2分钟） Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)

44．已知r?(t)??r(t)，?为常数，则r(t)为（ C ）．（导数；易；2分钟）

Ａ ?ta Ｂ ?a Ｃ e?ta Ｄ e?a

上述a为常向量．

45.已知r(x,y)?(x,y,xy)，求dr(1,2)为（ D ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (dx,dy,dx?2dy) Ｂ (dx?dy,dx?dy,0) 第二章

3

46．圆柱螺线r?(cost,sint,t)的切线与z轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角

?4 Ｄ 有固定夹角

?3

47．设有平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）．

Ａ α为单位向量 Ｂ α?α? Ｃ α????β Ｄ β????α 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）

Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２

49．关于平面曲线的曲率C:r?r(s)不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ ?(s)?α?(s) Ｂ ?(s)???(s)，?为α(s)的旋转角 Ｃ ?(s)??α?β? Ｄ ?(s)?|r?(s)| 50．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ） ．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ α?β Ｃ β?γ Ｄ α//β

52．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D） ．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

53．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件

54．x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asint2在点t??2的切线与z轴关系为（ D ）．

Ａ 垂直 Ｂ 平行

Ｃ 成?3的角 Ｄ 成?4的角

第三章 55．椭球面

x2y22a2?b2?zc2?1的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）

A (x,y,z)?(coscos?,cos?sin?,sin?)? B (x,y,z)?(acos?cos,?cosbsin?,sin?)?

C (x,y,z)?(acos?cos?,bcos?sin?,csin?) D (x,y,z)?(acos?cos,?bsincos?,?sinc2)?256．以下为单叶双曲面

x2a2?yz2b2?c2?1的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）

4

A (x,y,z)?(acoshsinu,vcoshbcosu,sinhv)u B (x,y,z)?(coshucos,coshvsinu,sinhv)u

C (x,y,z)?(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu) D (x,y,z)?(acoshucos,vbcoshsinu,vsinhc)uxa2257．以下为双叶双曲面?yb22?zc22．（参数表示；易；2分钟） ??1的参数表示的是（A ）

B (x,y,z)?(acoshucos,vbsinhsinu,vcoshc)u

A (x,y,z)?(asinhucos,vsinhbsinu,coshvc)uC(x,y,z)?(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) D (x,y,z)?(coshucos,coshvsinu,sinhv)uxa2258．以下为椭圆抛物面?yb22．（参数表示；易；2分钟） ?2z的参数表示的是（B ）

A (x,y,z)?(ucos,vusin,v)u22 B (x,y,z)?(aucosv,businv,u)22

C (x,y,z)?(aucoshv,businhv,u22) D (x,y,z)?(acosv,bsinv,v)

59．以下为双曲抛物面

xa22?yb22．（参数表示；易；2分钟） ?2z的参数表示的是（C ）

B (x,y,z)?(coshu,sinh,u)u

A (x,y,z)?(acosh,usinhb,u)uC (x,y,z)?(a(u?v),b(u?v),2uv) D (x,y,z)?(au,bv,u?v)

60．曲面r(u,v)?(2u?v,u2?v2,u3?v3)在点M(3,5,7)的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）

A 21x?3y?5z?20?0 B 18x?3y?4z?41?0

C 7x?5y?6z?18?0 D 18x?5y?3z?16?0

61．球面r(u,v)?(Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu)的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）

A R(du?sin22222udv)222 B R(du?cosh22222udv)22

C R(du?sinhudv) D R(du?cosudv)

62．正圆柱面r(u,v)?(Rcosv,Rsinv,u)的第一基本形式为（ C）．（第一基本形式；中；2分钟）

A du?dv B du?dv C du?Rdv D du?Rdv

22263．在第一基本形式为I(du,dv)?du?sinhudv的曲面上，方程为u?v(v1?v?v2)的曲线段的弧长为（B ）．（弧

22222222222长；中；2分钟）

A coshv2?coshv1 B sinhv2?sinhv1

5

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