3.2.1 实际问题中导数的意义同步练习
（答题时间：90分钟）
一、选择题。 1．函数f(x)?1x?． e(sinx?cosx)在区间[0,]上的值域为（ ）
22??112112A．[,e] B．(,e)
2222??C．[1,e2]
3
D．(1,e2)
C．3，－17
D．9，－19
2．函数y?x?3x?1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别为（ ） A．1，－1
B．1，－17
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm。要使其体积最大，则高为（ ）
3cm 3163C． cm
3lnx4．函数y?的最大值为（ ）
xA．
103 cm
3203D．cm
3
B．
A．e?1 B．e C．e2 D．
二、填空题
10 35．函数y=4x（x－2），x∈[－2，2]的最小值是_____。
?π?6．函数y?x?2cosx在?0，?上取最大值时，x的值为__ _.
?2?7．函数f(x)?x5?5x4?5x3?1在[?1，2]上的值域为 ．
三、解答题：
8．设0?x?a，求函数f(x)?3x?8x?6x?24x的最大值和最小值。
9．用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为?的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角?多大时，容器的容积最大？
10．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？
参考答案： 1．A
解：f'(x)?4322
1x1e(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?excosx 22 - 1 -
在?0,?上，f'(x)?ecosx?0
2?????x1???1所以函数在该区间上单调递增，所以函数最小值是f(0)?，最大值是f???e2
2?2?22．C
解：y=3x－3=3（x+1）（x－1），所以在[－3，－1]上函数单调递增，在[－1，0]上函数单调递减，函数在x=－1处有最大值f（－1）=3，因为f（－3）=－17，f（0）=1所以最小值是f（－3）=－17 3．D
解：设高为h（0?h?20），则圆锥的底面半径r?’
2
?202?h2?400?h2
111V?V(h)??r2h??(400?h2)h??(400h?h3)3331?V'??(400?3h2)31203令V'??(400?3h2)?0得h?33由题意V一定有最大值，而函数只有一个极值点。所以此极值点就是最大值点。 4．A
解：y'?1?lnx 2x∴0
1 e2
3
2
，
2
5．解：函数定义域是[－2，2]， y=4x（x－2）=4x－8x，y=12x－16x=4x（3x－4） 令y=0得x=0，x=
，
44128 而ｆ（－2）=－64，f（0）=0，f（）=?、f（2）=0 3327? 6所以函数在[－2，2]的最小值是－64 6．y'?1?2sinx，令y?0得x?????????6?6???? 所以最大值f?????6?6 而f(0)?2,f?答案：
π 6433????,f??? 2?2?23????，最小值f??? 2?2?2227. 解：f'(x)?5x?20x?15x?2x(x?1)(x?3) 令f'(x)?2x(x?1)(x?3)?
得在［－1，2］上的解为：x=0，x=1
而f(?1)??10,f(0)?1,f(1)?2,f(2)??7 答案：[?10，2]
8．解：f'(x)?12x?24x?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2) 令f'(x)?0，得：x1??1,x2?1,x3?2
- 2 -
322 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：
(0,1) (1,2) (2,??) x 1 2 f'(x) － 0 0 ? ? f(x) 单调递增 极大值13 单调递减 极小值8 单调递增 ∴极大值为f(1)?13，极小值为f(2)?8 又f(0)?0，故最小值为0。
最大值与a有关：（1）当a?(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为：
432 f(a)?3a?8a?6a?24a
（2）由f(x)?13，即：3x4?8x3?6x2?24x?13?0，得：
(x?1)(3x?2x?13)?0，∴x?1或x? 又x?0，∴x?1或x? ∴当a?[1,221?210 31?210 31?210]时，函数f(x)的最大值为：f(1)?13 31?210（3）当a?(,??)时，函数f(x)的最大值为：
3f(a)?3a4?8a3?6a2?24a
9．解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h2?r2?R2，所以
1111?r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,(0?h?R) 3333331 ∴V'??R2??h2，令V'?0得 h?R 易知：h?R是函数V的唯一
333 V?极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 ∴当h? 把h?3R时，容积最大。 336R代入h2?r2?R2，得 r?R 3326 由R??2?r得 ???
326 即圆心角???时，容器的容积最大。
326答：扇形圆心角???时，容器的容积最大。
310．解：设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a+4ah，而ah=256，a∈（0，+∞），
2
2
- 3 -
1024,a?(0,??),a10242(a3?29)'?0得：a?8, ∴S=2a?2?2aa显然0?a?8时，S'?0,a?8时S'?0S=a2?所以a?8时，S最小。此时h=4 - 4 -
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