信号分析与处理(王云专)第7章总结及习题答案

7.1 求下列序列的z变换及收敛域：

（1）?(n)

解：?(n)???(n)z?n?1 整个Z平面

????（2）?(n?1)

解：?(n?1)???(n?1)z?n?z n??

????根据时移性质

?(n?1)?z?1?z，但是排除无穷远。 （3）0.5nu(n)

z |z|?1 z?1根据Z域尺度变换性质

解：已知u(n)?0.5?1z2z10.5u(n)?? |z|? ?120.5z?12z?1n（4）x(n)?e2?e0.5?0.5nu(?n?1) 解：?0.5nu(?n?1)? e?e20.5??z2z1? |z|? z?0.52z?12?zz20.5?n20.5(e?e)z?(e?e)[?]?0 ?1?zz?1n???2z |z|?0 2z?1所以，x(n)?X(z)??（5）0.5n?1u(n?1)

解：n??? ????1?n1?(n?1)21??n?1zn??n?1?nz? |z|?2z?12n?12n?02（6）e?3nsin(n?)u(n) 6?0.5??n?1u(n?1)z?nzn?6解：已知sin()u(n)? ?22?6z2?2zcos?1z?3z?16zsin

156

?根据尺度变换性质

e?3nn?e3z3 sin()u(n)?X(ez)?62362(ez?3ez?1)7.2 求下列序列的单边z变换及收敛域：

（1） ?(n?3)??(n?4)??(n)?3nu(?n) （2） 0.5nu(n?3)

7.3 求下列各式的z反变换：

1(z?0.5) （1）X(z)??11?0.5z解：x(n)是一个右边序列

x(n)?(?0.5)nu(n) （2）X(z)?11?0.5z?1(z?0.5)

解：x(n)是一个左边序列

x(n)??(?0.5)nu(?n?1)

1?0.5z?1（3）X(z)?1?0.75z?1?0.125z?2(z?0.5)

解：

1?0.5z?1?11(1?z?1)(1?z?1)24 AB??1?111?z1?z?124A?(1?1?1z)X(z)|1?4z??221B?(1?z?1)X(z)|1??3z??44所以，X(z)?

431? |z|? 1121?z?11?z?12411所以，x(n)?[4(?)n?3(?)n]u(n)

241?0.5z?1（4）X(z)?1?0.25z?1

(z?0.5)

157

解：

1??(1?1?1z21?11z)(1?z?1) 2211? |z|?121?z?121所以，x(n)?(?)nu(n)

21?az?1（5）X(z)??1z?a解

(z?1) a1az?1??1??1z?az?a1111???(z?1?z?2?2z?3??)

1aaa11?z?1ax(n)?x1(n)?x2(n)11x1(n)??()nu(n)

aa1x2(n)?n?1u(n?1)a11所以，x(n)?(a?)u(n)?a?(n)

aan7.4 已知z变换X(z)?e2?e0.5，求其对应的x(n)序列。 解：x(n)?(e2?e0.5)?(n) 7.5 若 X(z)??3z y(n)?16?nu(n) 22z?5z?2试确定两个不同的序列，每个序列都有其z变换X(z)，且满足： （1）Y(z2)?0.5?X(z)?X(?z)?；

（2）在z平面内，X(z)仅有一个极点和一个零点。

7.6 已知

11?z?13X(z)??11?z?2z?2

(z?2)

158

求X(z)的反变换x(n)。 解：

11?z?13X(z)? |z|?2?1?21?z?2zAB??1?z?11?2z?1

2A?(1?z?1)X(z)|z?1?97B?(1?2z?1)X(z)|1?z??922171? ?1?191?z91?2z27所以，x(n)?u(n)?(?2)nu(n)

997.7 有一z变换为

1 X(z)?1?1(1?z)(1?2z?2)2所以，X(z)?（1）确定与X(z)有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图。 （2）每种收敛域各对应什么样的离散时间序列？ （3）以上序列中哪一种存在离散时间傅里叶变换？ 解：

1?1(1?z)(1?2z?1)(1?2z?1)2 ABC????X1(z)?X2(z)?X3(z)1?11?2z?11?2z?11?z2（1）都是右边序列|z|?2 （2）都是左边序列|z|?（3）

1 2X(z)?11?|z|?2，则x1(n)是右边序列，x2(n)和x3(n)是左边序列。 2 159

A?(1?1?11z)X(z)|z?1?2??23z?1??12B?(1?2z?1)X(z)|C?(1?2z?1)X(z)|所以，

??4?2 74?27z?1?12114?24?2（1）x(n)??()nu(n)?(?2)nu(n)?(2)nu(n)

3277114?24?2（2）x(n)?()nu(?n?1)?(?2)nu(?n?1)?(2)nu(?n?1)

3277114?24?2（2）x(n)??()nu(n)?(?2)nu(?n?1)?(2)nu(?n?1)

32777.8 利用部分分式展开法求

z3?8zX(z)?(z?4)3的反变换x(n)。

(z?4)

7.9 已知因果序列的z变换X(z)，求下列序列的初值与终值：

1?z?1?z?2（1）X(z)? ?1?1(1?z)(1?2z)（2）X(z)?（3）X(z)?1 ?1?1(1?0.5z)(1?0.5z)1?1?21?1.5z?0.5z?3z7.10 已知X(z)?2，在下列三种情况下，求各对应的序列x(n)。

2z?5z?2

（1）x(n)是右边序列 （2）x(n)是左边序列 （3）x(n)是双边序列 解：

160

?3z?1X(z)? (1?2z?1)(2?z?1)

AB??1?2z?12?z?1A?(1?2z?1)X(z)|z?1?12??1

B?(2?z?1)X(z)|z?1?2?2所以，X(z)??12?

1?2z?12?z?1（1）x(n)是右边序列，

1x(n)??2nu(n)?()nu(n) |z|?2

2（2）x(n)是左边序列，

11x(n)?2nu(?n?1)?()nu(?n?1) |z|?

22（3）x(n)是双边序列，

11x(n)?2nu(?n?1)?()nu(n) ? |z|?2

22 161

第7章习题答案

7.1 求下列序列的z变换及收敛域：

（1）?(n)

??解：?(n)???(n)z?n?1 整个Z平面

??（2）?(n?1)

解：?(n?1)?????(n?1)z?n?z n??

??根据时移性质：?(n?1)?z?1?z，但是排除无穷远。 （3）0.5nu(n)

解：已知u(n)?zz?1 |z|?1 根据Z域尺度变换性质

0.5nu(n)?0.5?1z2z10.5?1z?1?2z?1 |z|?2

（5）0.5n?1u(n?1) ??????解：

5n?1u(n?1)z?n?1?(n?1n?0.????1?nn?12n?1zn??n?1?n?02nz)?22z?1 （6）e?3nsin(n?6)u(n) zsin?z解：已知sin(n?6)u(n)?6z2?2zcos??2?1z2?3z?1 63根据尺度变换性质 e?3nsin(n?e6)u(n)?X(e3z)?z2(e6z2?3e3z?1)7.3 求下列各式的z反变换：

（1）X(z)?11?0.5z?1(z?0.5) 解：x(n)是一个右边序列 x(n)?(?0.5)nu(n) （2）X(z)?11?0.5z?1(z?0.5)

解：x(n)是一个左边序列 x(n)??(?0.5)nu(?n?1)

162

|z|?12 1?0.5z?1（3）X(z)?1?0.75z?1?0.125z?2(z?0.5)

1?0.5z?1AB??解：原式?

1?11?11?11?1(1?z)(1?z)1?z1?z2424A?(1?1?11z)X(z)|1?4 B?(1?z?1)X(z)|1??3

z??z??2424431? |z|? 1121?z?11?z?12411所以，x(n)?[4(?)n?3(?)n]u(n)

24所以，X(z)?1?0.5z?1（4）X(z)?1?0.25z?1(z?0.5或z?0.5)

1?解： 原式?1?1z21?11z)(1?z?1)2211|z|? 所以，x(n)?(?)nu(n) 2211x(n)??(?)nu(?n?1) |z|?

22(1??1 1?11?z21?az?1（5）X(z)??1z?a(z?1) az1z?a?1zz1z?a1az?1za1??1????解：原式??1az?az?a1?az1?az

x(n)?x1(n)?x2(n) 111其中:x1(n)??()nu(n),x2(n)?n?1u(n?1)aaa11所以，x(n)?(a?)u(n)?a?(n)

aan7.4 已知z变换X(z)?e2?e0.5，求其对应的x(n)序列。 解：x(n)?(e2?e0.5)?(n)

163

11?z?137.6 已知X(z)??11?z?2z?2(z?2)，求X(z)的反变换x(n)。

11?z?1AB3X(z)???1?z?1?2z?21?z?11?2z?1解：

27A?(1?z?1)X(z)|z?1?，B?(1?2z?1)X(z)|1?z??9922171?

91?z?191?2z?127所以，x(n)?u(n)?(?2)nu(n)

997.7 有一z变换为

1 X(z)?1?1(1?z)(1?2z?2)2所以，X(z)?（1）确定与X(z)有关的收敛域可能有几种情况，画出各自的收敛域图。 （2）每种收敛域各对应什么样的离散时间序列？ （3）以上序列中哪一种存在离散时间傅里叶变换？ 解：

1?1?1?1(1?z)(1?2z)(1?2z)2 ABC????X1(z)?X2(z)?X3(z)1?11?2z?11?2z?11?z2（1）都是右边序列|z|?2 （2）都是左边序列|z|?（3）

1 2X(z)?11?|z|?2，则x1(n)是右边序列，x2(n)和x3(n)是左边序列。 2A?(1?1?11z)X(z)|z?1?2??23z?1??12B?(1?2z?1)X(z)|C?(1?2z?1)X(z)|所以，

??4?2 74?27z?1?12 164

114?24?2（1）x(n)??()nu(n)?(?2)nu(n)?(2)nu(n)

3277114?24?2（2）x(n)?()nu(?n?1)?(?2)nu(?n?1)?(2)nu(?n?1)

3277114?24?2（2）x(n)??()nu(n)?(?2)nu(?n?1)?(2)nu(?n?1)

32777.10 已知X(z)??3z，在下列三种情况下，求各对应的序列x(n)。

2z2?5z?2（1）x(n)是右边序列 （2）x(n)是左边序列 （3）x(n)是双边序列 解：

?3z?1AB X(z)????1?1?1?1(1?2z)(2?z)1?2z2?zA?(1?2z?1)X(z)|所以，X(z)??1z?1?2??1，B?(2?z?1)X(z)|z?1?2?2

12?

1?2z?12?z?1（1）x(n)是右边序列，

1x(n)??2nu(n)?()nu(n) |z|?2

2（2）x(n)是左边序列，

11x(n)?2nu(?n?1)?()nu(?n?1) |z|?

22（3）x(n)是双边序列，

11x(n)?2nu(?n?1)?()nu(n) ? |z|?2

22

165

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