立体几何08
9．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到?A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
A A1
E
E FF
BCP
BCP 图2 图1
解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3
0
（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=60 , ∴△
ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又BE?EF?E∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP
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在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴A1P?5. ∵ MQ⊥A1P∴MQ?A1Q?PQA1P?25∴5MF?250
在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=60,由余弦定理得QF?3 57MF2?MQ2?QF2在△FMQ中，cos?FMQ???
2MF?MQ8∴二面角B－A1P－F的大小为??arccos7 8解法二:（1）作AH?面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形
BHCD是正方形,且AH?1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴
建立空间直角坐标系如图, 则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).
????????BC?(?1,1,0),DA?(1,1,1), ?????????BC?DA?0,则BC?AD. - 2 -
【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.
10．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜
A边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1） 求证：AD?BC
B（2） 求二面角B－AC－D的大小 （3） 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30?角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。
解法一:(1)方法一:作AH?面BCD于H,连DH.
DCAB?BD?HB?BD,?AD?3,BD?1
?AB?2?BC?AC ?BD?DC
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又BD?CD,则BHCD是正方形.则DH?BC.?AD?BC. 方法二:取BC的中点O,连AO、DO, 则有AO?BC,DO?BC.
?BC?面AOD,?BC?AD.
解法二:（1）作AH?面BCD于H,连BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且
AH?1,以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系如图,
则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).
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????????BC?(?1,1,0),DA?(1,1,1), ?????????BC?DA?0,则BC?AD.??????????????(2)设平面ABC的法向量为n1?(x,y,z),则由n1?BC知:n1?BC??x?y?0; ??????????????同理由n1?CA知:n1?CA?x?z?0.可取n1?(1,1,?1). ???同理,可求得平面ACD的一个法向量为n2?(1,0,?1).
?????由图可以看出,三面角B?AC?D的大小应等于
??????????n1?n21?0?166?则cos
，OB，OC两两垂直，11．如图，已知三棱锥O?ABC的侧棱OA且OA?1，OB?OC?2，
E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角E?AB?C的大小．
解析:.(1)取BC的中点D,连AD、OD
Ａ
Ｏ Ｂ
Ｅ Ｃ
?OB?OC,则OD?BC、AD?BC, ?BC?面OAD.过O点作OH?AD于H,
则OH?面ABC,OH的长就是所要求的距离.BC?22,OD?OC2?CD2?2.
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?OA?OB、OA?OC，?OA?面OBC,则OA?OD.
AD?OA2?OD2?3，在直角三角形OAD中，有OH?OA?OD26??. AD33（另解：由V?1126S?ABC?OH?OA?OB?OC?知,OH?.) 3633(2)取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC,?BEM是异面直线BE与AC所成的
1517AC?,BE?OB2?OE2?5,BM?OM2?OB2?.222
角.求得:
BE2?ME2?BM222cos?BEM??,??BEM?arccos.2BE?ME55EM?(3)连结CH并延长交AB于F,连结OF、EF.
?OC?面OAB,?OC?AB.又?OH?面ABC,?CF?AB,EF?AB,
则?EFC就是所求二面角的平面角.作EG?CF于G,则EG?16OH?. 26在直角三角形OAB中,OF?OA?OB2?, AB5在直角三角形OEF中,EF?OE2?OF2?1?43?, 556EG303076sin?EFG??6?,?EFG?arcsin.(或表示为arccos)
3EF1818185 - 6 -
(2)??????EB??(2,0,0)?(0,1,0)?(2,?1,0),AC??(0,2,?1). cos??25?5??25,所以异面直线BE与AC所成的角arccos25.
(3)设平面EAB的法向量为?n?(x,y,z),则由?n????AB?知:?n????AB??2x?z?0;由?n????EB?知:?n????EB??2x?y?0.取?n?(1,2,2).
由(1)知平面ABC的法向量为?n?1?(1,1,2).
则cos??n??n?2?419?6?736?7618.
结合图形可知,二面角E?AB?C的大小为:arccos7618.
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