所围成的平面图形的面积S??10[x?x]dx?[233x2?12x]210?16
10．由曲线y2?x与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为 。 提示：（草图略）以y为积分变量，则y?[?1,2] 所围成的平面图形的面积S?11．定积分?31?2?1[y?2?y]dy?[212y?2y?213y]32?1?92
dxx?x3= 。
提示：令x?t2，则dx?2tdt 所以?31dxx?1x3??32tdtt?t31?2?31dt1?t21?[2arctant]31?2(?3??4)??6
12．定积分?[e?1x2sinx?x]dx? 。
1210提示：?[e?11x2sinx?x]dx?0?2?xdx?x0?1
?13．定积分??2??2[sinx1?x25?cosx]dx?_ _____ 。
提示：?2??2[sinx1?x25??cosx]dx?0?2?2cosxdx?2
0214．极限lim?1cosxex?tdtx?02= 。
(?sinx)e?cosx2提示：原式=lim?e?cosx2x?02x=lim1sinxx?02x3=
12e
115．设f(x)可积，且有f(x)?提示：?f(x)dx?011?x32?x?10f(x)dx，则?f(x)dx? 。
0?10[11?x2?x10?10f(x)dx]dx?10??1011?x112dx??f(x)dx??xdx
00113=arctanx 所以?f(x)dx?01?1?4f(x)dx??4?40f(x)dx
?3
二、单项选择题
21
1．极限lim??x0x0tsintdt?（
2C ）。
x?0ln(1?t)dt A．?1 B．0
x0 C．1
xsinxln(1?x)2
sinxxxD．2
22提示：lim??x0tsintdt?lim2x?0x?0?limln(1?t)dtx?0?ln(1?x)?1
2．设F(x)??x?2xx2。 f(t)dt，其中f(x)是连续函数，则limF(x)?（ C ）
x?2A.0 B.f(2) C.2f(2) D.不存在
提示：limF(x)?limx?2x?f(t)dt2xx?2x?2??limx?231x2f(t)dt?xf(x)1??22f(t)dt?2f(2)?2f(2)
3．设f(x)是可导的连续函数，则?f?(3x)dx等于（ D ）
A.f(3)?f(1) B.f(9)?f(3) C. 提示：?311f?(3x)dx??13f(3x)31??31[f(3)?f(1)] D.
13[f(9)?f(3)]
3?4f(9)?f(3)?
?4．设M??2?sinx1?x2?2cosxdx，N?4?2??2cosxdx，P??2??2(xsinx?cosx)dx
234则下列不等式成立的是（ D ）。
A．N?P?M B．M?P?N C．N?M?P D．P?M?N 提示：利用奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为零，可以得到
??M?0，N??32??2(sinx?cosx)dx?34?2??2cosxdx?0
4??P??2??2(xsinx?cosx)dx???242??2cosxdx?0
4所以：P?M?N
5．下列定积分中，其值为零的是（ D ） A．?2?2xsinxdx B．?xcosxdx C．?022?2(e?x)dx D．?x2?2(x?sinx)dx
提示：因为x?sinx是奇函数 6．设F(x)??x?2x2x2。 f(t)dt，其中f(x)是连续函数，则limF(x)?（ D ）
x?2A.0 B.f(2) C.2f(2) D.4f(2)
22
提示：limF(x)?limx?2x2?x2f(t)dt?limx?22x?f(t)dt?xf(x)2x2x?2x?21
?4?f(t)dt?4f(2)?4f(2)
227．
?dxA.0de1tlntdt?(2A)
B.lne?ln1eC.1xD.xlnx2
提示：因为定积分?tlntdt是一个确定的数，所以其导数为零。
128．设f(x)为连续的偶函数，且F(x)??x0f(t)dt，则F(?x)等于（ B ）。
A. F(x) B. ?F(x) C. 0 D. 2F(x) 提示：F(?x)???x0u??tf(t)dt???x0f(?u)du???f(u)du??F(x)
0x9．设y?f(x)为?a,b?上的连续函数，则曲线y?f(x)，x?a，x?b及x轴所围成的曲边梯形面积为（ C ） A．
?baf(x)dx B．
?baf(x)dx C．
?baf(x)dx D． ??baf(x)dx
提示：利用定积分的几何意义。
s10．设f(x)为连续函数，记I??t0f(tx)dx，其中t?0，s?0，则I的值（ C ）
A．依赖于s和t B．依赖于s、t和x C．依赖于s和t，不依赖于x D．依赖于s，不依赖于t
提示：定积分只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。
《高等数学》第五章课外综合练习题（二）参考答案
23
一、计算下列极限
1． lim???1x02sin(t)dtx62x?0x02
2sin(t)dtxt2解：limx?06?limsin(x)?2x6x54x?0?13
2．limcosxedt2x?0x
?ecos2x解：原式=lim(?sinx)x?02x?t?limecos2xsinxx?02x?e2
3． lim?x0(e?e)dt1?cosxe?ex?xt
e?ex?xx?0解：原式=limx?0sinxx0=limx?0cosx =2
x?4． lim??edtt2x?0xsin2xx?x02
x??lim12x?0edtt2解：lim?x0edt?2t2xsin2xlimx?0xsin2x2x3?12x2x?limx?0?x0edtt2x163
?二、计算下列积分 1．
lim1?e3xxx?02?12?2xe6xx?0??
?e1cos(lnx)dx
解：令t?lnx，则x?et
原式=?costde=ecost01tt101??t10esintdt=ecos1?1?esinttt10??ecostdt
01t=ecos1?1?esin1??ecostdt
0所以：原式= 2．
12(esin1?ecos1?1)
??0e2xcosxdx
24
解：?e0?2xcosxdx?e2xsinx?0?2?e0?2xsinxdx cosxdx??2e2? ?2e?2xcosx?0?4?e0?2x?2?4?e0?2xcosxdx
所以 ?e2xcosxdx??025(e2??1)
3．
????1?cos2xdx
解：原式=
????2|sinx|dx=?0??2(?sinx)dx???02sinxdx
=2cosxe0???2cosx?0 =42
4． ?sin(lnx)dx
1解：令t?lnx，则：x?et
原式=?sintde=etsint01t10—?ecostdt=esin1?etcost01t10—?esintdt
01t所以：原式=5． ?e012(esin1?ecos1?1)
?2xsinxdx
解：?e0?2xsinxdx???e0?2xdcosx??e?2x2xcosx?0?2?e0?2xcosxdx
?e ?e?2??1?2?e0dsinx?esinxdx
2??1?2e2xsinx?0?4?e0?2xsinxdx
2??1?4?e0?2x 所以?e2xsinxdx?015(e2??1)
6． ?x0224?xdx
2解：令x?2sint，则t?[0,2?2]
??2 ?x04?xdx?2?204sint?2cost?2costdt?4??220sin2tdt
2 ?2? 7． ?2?020(1?cos4t)dt?2??2??
1?cos2xdx
25
《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案
一、填空题 1．函数y?1(x?4)lnx?2的定义域为{xx?R且x?1,2,3,4} 。
?x?4?0?提示：即解不等式组?lnx?2?0，可得x?1,2,3,4
??x?2?022．设函数f(x)的定义域为[?1，1]，则f(x?3x?1)的定义域为[?3,?2]?[?1,0] 。
提示：即解不等式：?1?x2?3x?1?1。
3．若函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(sinx)的定义域为[2k?,2k???] 。 提示：即解不等式0?sinx?1。
4．若函数f(x)的定义域为[?1,0]，则函数f(cosx)的定义域为[2k??提示：即解不等式?1?cosx?0
5．若函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(arctan2x)的定义域为[0,提示：即解不等式0?arctan2x?1，可得0?2x?tan1 6．函数y?arcsinxlnx?212tan1] 。
?2,2k??3?2] 。
的定义域为(?1,1] 。
??1?x?1?提示：即解不等式组?lnx?2?0，可得?1?x?1
?x?2?0?7．若极限limx?3x?a2?x2x?2?b，则a? 2 ，b??1。
2提示：要使此极限存在，则lim(x?3x?a)?0，即a?2?0，所以a?2；
x?2 又limx?3x?22?x2x?2?lim(x?2)(x?1)2?xnx?2?lim(1?x)??1，所以b??1。
x?28．若x?0时函数cosx?cosx与mx是等价无穷小，则m?14，n? 2 。
提示：由于lim
cosx?cosxmxnx?0?limcosx(1?cosx)mx(cosx?cosx)1
nx?0
?limcosxsinxmx(cosx?cosx)?1?cosx?n2x?0
?limsinxx22x?0?cosx(cosx?cosx)?1?cosx?m?1?x2?nn?2?0,??1??,n?2
?4m???,n?2所以n?2，m?14。
129．若x?0时函数tanx?sinx与mxn是等价无穷小，则m?sinx ，n? 3 。
提示：limtanx?sinxmx33nx?0?limcosxnx?0mx?sinx?limx?0sinx(1?cosx)mxcosxn
=limsinxxx?0?1cosx(1?cosx)mx?1n?3
?12mlimxx?03?n?0,n?3??1??,n?3， ?2m???,n?3由提示知，lim10．若lim[x??tanx?sinxmxnx?0?1，所以m?12,n?3。
(x?1)(x?1)32 ?ax?b]?0，则a? 1 ，b? 5 。
提示：因为lim[x??(x?1)(x?1)(x?1)32?ax?b]?0，
32即a?limx??x(x?1)(x?1)(x?1)32?1
则b?lim[x???x]?5
11．若limx?ax?bx?122x?1?2，则a? 2 ，b??3。
2提示：要使此极限存在，则lim(x?ax?b)?0，即1?a?b?0，所以a??1?b；
x?1 2
又limx?(1?b)x?bx?12x3x?sin3xxsin2xx22x?1?lim(x?b)(x?1)(x?1)(x?1)x?1?limx?bx?1x?1?1?b2?2，所以b??3，a?2。
12. 极限lim[xsinx?0]? 3 。
提示： 第一个极限用的是有界函数与无穷小的乘积还是无穷小;第二个极限用的是第一个重要极限。 13. 极限lim[xsinx???]? 3 。
提示：lim[xsinx??3x?sin2xxsin]?lim3?x??3x?lim1sin2x?3?0?3
x??x3x 注意与第六题的不同之处。 14．若x?1时，
(x?1)2mx?1是比x?1高阶的无穷小，则m的取值范围是(2,??) 。
??,m?2??1??,m?2 ?2??0,m?2(x?1)m2(x?1)mm?2提示：limx?12x?1?lim(x?1)x?1x?1x?1?12lim(x?1)x?1m?2 由题意
(x?1)2mx?1x?112n15．若lim(k?k???k)?0，则k的取值范围是(2,??)。
n??nnn是比x?1高阶的无穷小知，limx?1?0，所以m?2。
x?1n?12提示：0?lim(n??1nk?2nk???nnk)?limn??2kn??,k?2?2n?1?1?lim??,k?2 kn??2n?2??0,k?2x?[??,?] 。
16．函数y?3arccosx2的反函数是y?2cosx317. 函数y?2xx2?1的反函数是y?log2xx1?xx?(0,1) 。
18． 如果lim(x??x?ax?a)?4，则a?ln2 。
x?a?2a?a2a??)?lim?1?提示：4?lim(?x??x??x?ax?a??xx?a2a?e2a
所以：a?ln42?ln2。
3
19． 如果f(x)?1?cosxx2?3limf(x)，则limf(x)=?x?0x?014 。
提示：设limf(x)?A，则A?limf(x)?lim?x?0x?0x?0??1?cosxx21?cosx1??3A??lim?3A??3A 2x?0x2? 所以A??14。
20．设f(x?1)?x2?3x?2，则f(x)?x?5x?6。
提示：提示：令t?x?1可得f(t)?t2?5t?6，在把x带入即可。
《高等数学》第一章综合练习题（二）参考答案
一、单项选择题
1．下列结论不正确的是（ C ）。
A．基本初等函数在其定义域内是连续的 B．基本初等函数在其定义区间内是连续的 C．初等函数在其定义域内是连续的 D．初等函数在其定义区间内是连续的 2. 下列说法正确的是（ D ）
A．无穷小的和仍为无穷小 B．无穷大的和仍为无穷大 C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大 D. 收敛数列必有界 3．若无穷小量?与?是等价的无穷小，则???是（ D ）无穷小
A．与?同阶不等价的 B．与?等价的 C．比?低阶的 D．比?高阶的 4． 设函数f(x)在闭区间[?1,1]上连续，则下列说法正确的是（ C ）
A．limf(x)必存在 B．limf(x)必存在 C．limf(x)必存在 D. limf(x)必存在
x?1?x?1x?1?x??15. 下列说法不正确的是（ B ）。
A．两个无穷小的积仍为无穷小 B．两个无穷小的商仍为无穷小
C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 D. 在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小 6．偶函数的定义域一定是（ B ）
A.包含原点的区间 B.关于原点对称 C. (??,??) D.以上三种说法都不对 7．若f(x)是奇函数，?(x)是偶函数，且f??(x)?有意义，则f??(x)?是（ A ）。
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.奇函数或偶函数
8．下列函数中,( B )是奇函数.
2 A．ln(x?1) B．ln(x?1?x) C．xsinx D．ex?e?x
2 4
9．若f(x)在(??,??)内单调增加,?(x)是单调减少,则f[?(x)]在(??,??)内( B ) A.单调增加 B.单调减少 C.不是单调函数 D.无法判定单调性 10．函数y?ex?e?x的图形对称于直线（ C ）
A.y?x B.y??x C.x?0 D.y?0 11．若f(x)是奇函数,且对任意实数x,有f(x?2)?f(x),则必有f(1)?( B )。
A.?1 B. 0 C.1 D.2
12．下列各式中正确的是（ A ） A.limx?0cosxx C.lim?0 B.lim? 1?x?0x??coscosxxxx 0 D.limx??xcosx? 113．若f(sinx)?3?cos2x，则f(cosx)?（ C ）
A．3?sin2x B．3?2sin2x C． 3?cos2x D．3?cos2x 提示：f(sinx)?3?cos2x?3?(1?2sin2x)?2?2sin2x f(cosx?)x2?22coxs?1x2?2(cxo?s2?1?) x3cos214．设f(x)?x?1arcsin。 ?3limf(x)，则limf(x)等于（ D ）
x??x?? A.2 B.12 C.?2 D.?12
提示：设limf(x)?A，则
x??2?x2?1x1A?limf(x)?lim?arcsin?3A??limarcsin?3A
x??x??x??x?1xx?x?1??limxx?112arcsin1x1x?3A?1?3A （因为lim1?0，所以limx??xx??arcsin1x1x?1）
x?? 所以A?? 3x15．设f(x?2)?(1?A.e?1。 )，则limf(x)?（ C ）
x??xB.e?2C.ex?3D.e 3t?2)t?23提示：f(x?2)?(1?
3x)，令t?x?2，则f(t)?(1?5
故limf(x)?limf(t)?lim(1?x??t??t??3t?2)t?2?lim(1?t??3t?2t?2)?3?(?3)?e?3
16．极限limxsinx???x?（ B ）
2A.1 B.? C.e D. 不存在
117．当x?0时，ex的极限是（ D ）。
A．0 B．?? C．?? D．不存在
1x?0?x?0?11提示：limex???，limex?0，所以当x?0时，ex的极限不存在
x?5x?518．当x?5时，f(x)?的极限是（ D ）
A.0 B.? C.1 D. 不存在
x?5x?5x?5x?5x?5x?55?xx?5提示：limx?5??limx?5??1；limx?5??limx?5???1；
当x?5时，f(x)?19．设f(x)?xx?5x?5的极限不存在。
1?2x，则limf(x)?（ D ）。
x?0 A．1 B．不存在 C．e2 D．e?2
1?12x?(?2)提示：limf(x)?limx?0xx?01?2x?lim(1?2x)x?0x?lim(1?2x)x?0?e?2
??20．若x?0时，2sinx?sin2x~xk，则k?（ ）
A.1B.22sinx?sin2xx21?cosxkC.3?lim2sinx(1?cosx)xkD.4
提示：limx?0x?0
?limx?0?sinx33x?x3?k?limxx?03?k?0,k?3???1,k?3 ??,k?3?《高等数学》第二章综合练习题参考答案
一、填空题
1．若f(x)在x?0处可导，且f?(0)?2，则limf(5x)?f(x)xx?0?8 。
6
提示：根据导数的定义f?(x)?limf(x??x)?f(x)?x?x?0?limf[x??(x)]?f(x）?(x)?0?(x)
所以可得：lim limf(x0??x)?f(x0??x)x?4f?(0)?8
x?0?(???)f?(x0)
f(5x)?f(x)xx?02．设f(x)在x0处可导，且f(x0)?0，f?(x0)?1，则limnf(x0?n??2n)?2 。
提示： limnf(x0?n??2nf(x0?)?lim2?n??2n2n)?f(x0)?2f?(x0)?2
3．若f(x)?(x?1)(2x?1)?(100x?1)，则f?(1)?99! 。 提示：由题意知：f(1)?0且
f?(1)?limf(x)?f(1)?lim(x?1)(2x?1)?(100x?1)?0x?1f?(x0)?f?(x0?2h)h?lim(2x?1)?(100x?1)
x?1x?1 ?1?2???99?99!
x?1x?14．设函数f(x)在x0处二阶可导，且limf?(x0)?f?(x0?2h)h2h?0?1，则f??(x0)?12。
提示：limh?0?2f??(x0)?1
12e5．若曲线y?ax与曲线y?lnx相切，则a? 。
提示：两条曲线相切，说明有一个交点，所以ax2?lnx
还说明他们具有共同的切线，所以切线的斜率相同，即2ax?所以可以得到：lnx?6．若极限limx[f(x)?f(0)]1?cosx121x
，即x?e。所以可得a?1212e
x?0?1，则f?(0)? 。
提示：limx[f(x)?f(0)]1?cosxx?0?limx2x?01?cosx?f(x)?f(0)x?limxsin22x?0x?(1?cosx)f?(0)?2f?(0)
7．设函数f(x)在x?1处可导，且f?(1)?2，则iml ? 1 。2hf(2?cosh)?f(1)f(2?cosh)?f(1)1?cosh1提示：lim?lim[?]?f?(1)?1 22h?0h?0h1?coshh2f(x0?2?x)?f(x0)28．若lim?，则f?(x0)??1。
?x?03?x3h?0f(2?cosh)1()?f 7
提示：lim9．设ff(x0?2?x)?f(x0)3?x2?x?0??23?x?0lim(n)f(x0?2?x)?f(x0)?2?x??23f?(x0)
(n?2)(x)?xlnx(n?2)，则f(x)?xlnx知：f2(n?1)(x)? 提示：由f f(n)(n?2)?2(x)??xlnx??2xlnx?x
(x)?2lnx?2?1?2lnx?3
sinx10．设y?xsinx，则微分dy?xsinx??cosxlnx???dx 。
x????sinx?? x?提示：用对数求导法求y?xsinx的导数为：y??y?cosxlnx?sinx??cosxlnx???dx
x??
所以dy?y?dx?x二、单项选择题
sinx1．若f?(x0)??2。则limxf(x0?2x)?f(x0)x?0?（ D ）。
A.?1B.1C.?14D.14
1?2f?(x0)14提示：limxf(x0?2x)?f(x0)x?0?lim1f(x0?2x)?f(x0)xf(1)?f(1?x)x?0?limx?0?
2．已知f(x)为可导的偶函数，且lim程为（ A ）。
A.y?4x?6x?02x?2，则曲线y?f(x)在(?1,2)处的切线方
B.y??4x?2?limC.y?x?3f(1?x)?f(1)?x?limD.y??x?1 f(1)?f(1?x)x?2*2?4
提示：f?(?1)?limf(?1?x)?f(?1)?xx?0x?0x?03．设曲线y?f(x)在x?x0处的切线是水平的，则当x?x0时，f(x)?f(x0)较之x?x0 为（ D ）无穷小。
A．同阶不等价 B．等价 C．低阶 D．高阶 提示：因为曲线y?f(x)在x?x0处的切线是水平的，所以f?(x0)?0 即limf(x)?f(x0)x?x04x?x0?0，所以f(x)?f(x0)较之x?x0为高阶无穷小。
4．设y?sinx，则A.4xcosx
34dyd(x)22?（ B ）
4B.2xcosxC.4xcosx8
24D.2xcosx4
提示：令t?x2，则y?sint2，则
dydt?2tcost，所以
2dyd(x)2?2xcost
245．设f(x)可导，则limA.?f?(x?1)f(2?x)?f(1)x?1x?1?（ C ）
D.f?(2)
B.f?(1)C.?f?(1)提示：limf(2?x)?f(1)x?1x?1?2?x?1x?1f?(1)??f?(1)
6．函数y?sinx在x?0处是（ C ）。
A．连续且可导 B．不连续不可导 C．连续不可导 D．不连续但可导
?sinx,??提示：y?sinx????sinx,??0?x???2?2，所以
?x?0f??(0)?limf(x)?f(0)xf(x)?f(0)x?0??lim?sinx?0xsinx?0x?0???1
xx所以该函数在x?0不可导。但是从图形上看该函数在x?0点连续。
x?0?x?0?f??(0)?lim?lim?1
7．下列函数中在点x?1处连续但不可导的是（ C ）。
A.y?1x?1B.y?ln(x?1)2C.y?x?1D.y?(x?1)
2解：根据连续与可导的关系，可导一定连续，知，不连续一定不可导。所以下面的函数中， y?1x?12在x?1处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导
y?ln(x?1)在x?1处没有定义，所以一定不连续，所以一定不可导 y?(x?1)x?1处即可导也连续 ?x?1, y?x?1???1?x,x?1x?1''2，所以f?(1)??1，f?(1)?1，所以不可导。
f(x0?2h)?f(x0)h8．设函数f(x)在x0处可导，且limA.1B.f(x0?2h)?f(x0)h12h?0。 ?1，则f?(x0)?（ C ）12D.?2
C.?提示： limh?0??2f?(x0)?1
9．函数f(x)在点x0处可导，下列极限等于f?(x0)是（ C ）。
A.limf(x0?2h)?f(x0)hh?0 B.limf(x0?h)?f(x0)h
h?0 9
C.limf(x0?h)?f(x0?h)h?0提示： lim lim2hf(x0?2h)?f(x0)hf(x0?h)?f(x0)?hh?0?hf(x0?h)?fx(0)?2f?(x0) lim??f?x(0 )h?0hh?0 D.limf(x0?h)?f(x0)
h?0??f?(x0)
?y?dy?x?（ A ）.
10．设y?f(x)在x0处可导，当x由x0增至x0??x时，极限limA．0 B．1 C．f?(x)?dx?x?x?0 D．不存在
提示：根据y?f(x)在x0处可导知y?f(x)在x0处可微，由可微的性质知： ?y?dy是?x的高阶无穷小，所以lim?y?dy?x?0
?x?02（计算）10.设f(x)?xx?4，求导数f?(x)
3??4x?x,?2?x?2解：f(x)??
3??x?4x,x??2或x?2当?2?x?2时，f?(x)?4?3x2 当x??2或x?2时，f?(x)?3x2?4
?f(x)?f(?2)x?(?2)f(x)?f(?2)x?(?2)又f?(?2)?limx??2??limx?4x?0x?24x?x?0x?233x??2??8
f?(?2)?lim?3x??2??limx??2???8
f?(2)?lim?f(x)?f(2)x?2f(x)?f(2)x?2x?2??lim4x?x?0x?2x?4x?0x?23x?2???8
f?(2)?lim?x?2??limx?2??8
所以f?(?2)及f?(2)均不存在 ?4?3x2,?2?x?2?所以f?(x)??不存在，x??2
?2?3x?4,x??2或x?2《高等数学》第三章综合练习题（一）参考答案
一、填空题
10
1．曲线y?(e2x?1)(x?1)2x(x?1)的垂直渐近线方程为x?1。
提示：垂直渐近线是：若limf(x)??，则称直线x?x0为曲线y?f(x)的垂直渐近线。
x?x0 所以对本题有：当x?1时，y?? 即x?1为其垂直渐近线。 2．曲线y?xe?x的渐近线方程为y?0。
提示：显然根据垂直渐近线的定义知道，该曲线没有垂直渐近线
斜渐近线是指：若lim[f(x)?(ax?b)]?0，则直线y?ax?b为曲线y?f(x)的斜渐近线。
x??其中y?ax?b中的参数a和b是由极限a?lim所以对本题 a?limf(x)x?limxe?xf(x)xx??和b?lim[f(x)?ax]确定。
x??x???x???x?lim1exx????0
b?lim[f(x)?ax]?lim(xex???x????x?0)?limxexx????lim1exx????0
所以有渐近线为直线y?0
f(x)xxe?x又a?limx????limx???x??，所以x???时无渐近线。
所以该曲线仅有一条渐近线为y?0
3．曲线y?x?2arctanx的斜渐近线方程为y?x??与y?x??。 提示：a?limf(x)x?limx?2arctanxxx???x??x???1
2arcx?taxn??2arcx?taxn??]]2limx??a r?c2lim?x? arf b?lim[x???x(?)ax?]x(?)ax?]limx?[x???f b?lim[x???x???limx?[x??? 所以斜渐近线为y?x??与y?x??
14．曲线y?(x?2)ex的斜渐近线方程为y?x?3。
1提示：a?limf(x)xx???lim(x?2)exxx???lim(1?x??2x2t?1xt)ex?lim(1?2t)e?1
t?01 b?lim[fx??x(?)ax?]x??lim?x[(x?e2)?xx(1?e)x?1 ]xlim??1x21 11
t?1x ?limt?0(1?2t)e?1tt?limt?02e?(1?2t)e1tt?3
所以斜渐近线为y?x?3
(x?1)(x?1)325．曲线y?的斜渐近线方程为y?x?。
(x?1)32提示：a?limf(x)xx???lim(x?1)xx???lim(x?1)32x??x(x?1)?1
b?limf[x(?)ax?]x??x??(x?1) lim[2?x??](x?1)35 所以斜渐近线为y?x?5
6．曲线y?x?arctanx的斜渐近线方程为y?f(x)xx?arctanxx?2x?1与y???2x?1。
提示：a?limx????limx?????2
arctanx?x)?limx????12b?lim[f(x)?ax]?lim(x?arctanx?x???x????21x2?lim1?x??1
x???1?2xa?limf(x)xx????limx?arctanxxx??????2
arctaxn?)lim2?1x?1x??? b?limf[x(?)ax?]x???x???lxi?m(axr?ctaxn?2?x???1?x?li?m 1?2x21 所以斜渐近线为y?sinxx(x?1)?2x?1与y???2x?1
7．曲线y?的垂直渐近线方程为x?1 。
提示： limf(x)??1
x?0 limfx(?)?
x?1 所以垂直渐近线为x?1
8．函数f(x)?x?3x?9x?5在区间[?2,4]上的最小值为?22 ，最大值为 10 。
2提示：f?(x)?3x?6x?9?3(x?1)(x?3)
32 12
令f?(x)?0，得x1??1，x2?3 计算f(?2)?3,f(?1)?10,f(3)??22,f(4)??15
9．若点(1,?2)为曲线y?ax3?bx2的一个拐点，则a?1 ，b??3。
提示：因为点(1,?2)为曲线y?ax3?bx2的一个拐点，所以有：?2?a?b，且在该点处y???0 即：6a?2b?0，所以解之得：a?1,b??3
110．设f(x)有连续导数，f(x)?0，且f(0)?f?(0)?1，则lim?f(x)?x?e 。
x?0f?(x)111提示：lim?f(x)?x?limex?0x?0ln[f(x)]x?ex?0limln[f(x)]x?ex?0limln[f(x)]x?ex?0limf(x)1f?(0)?ef(0)?e
倒数第二个等号用到了条件f(x)有连续导数，所以limf?(x)?f?(0)且limf(x)?f(0)。
x?0x?0二、单项选择题
1．设f(x)在?a,b?上可导，且f(a)?f(b)，则在?a,b?内至少有一点?，使得（ B ）。 A.f?(?)?0B.f?(?)?0C.f?(?)?0D.f?(?)不存在
提示：因为f(x)在?a,b?上可导，所以由拉格朗日中值定理知：
在?a,b?内至少有一点?，，使得 f(b)?f(a)??f?()(b? a又f(a)?f(b)，所以f?(?)?0
2．设f(0)?g(0)，且当x?0时，有f?(x)?g?(x)，则当x?0时，有（ B ） A.f(x)?g(x)B.f(?x)g(x)C.f?(x)g(x)以上都不对 D提示：令F(x)?f(x)?g(x)，所以F(0)?0，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0 所以当x?0时，F(x)?F(0)?0，即f(x)?g(x)
3．若f(x)二次可微，且?x0,f(x0)?是它的一个拐点，则x?x0处必有（ A ）成立。 A.f?(x)取得极值 B.f(x)切线不存在 C.f(x)取得极值 D.以上都不对 提示：因为f(x)二次可微，则f??(x)存在，
又?x0,f(x0)?是它的一个拐点，所以可知f??(x0)?0， 所以f?(x)在该点取得极值。
13
4．设函数y?f(x)可微，则当?x?0时，?y?dy较之?x为（ D ）无穷小 A．同阶不等价 B．等价 C．低阶 D．高阶 提示：因函数y?f(x)可微，所以由定义知：?y?A?x?o(?x)，且dy?A?x，
所以?y?dy?o(?x)。
5．若f?(x0)?f??(x0)?2?0，则点x0一定是函数f(x)的（ B ）。
A．极大值点 B．极小值点 C．最大值点 D．最小值点 提示：由f?(x0)?f??(x0)?2?0知，f??(x0)?2，
根据极值的第二判别定理知，函数在该点一定取得极小值。 6． 下列各函数在[?1,1]上满足罗尔定理条件的是（ A ） A.y?x?12B.y?x?1xC.y?x?1D.y?x?1
提示：y?x?1x在x?0点没有定义
y?x?1在x?0点不可导
y?x?1时，f(1)?0，f(?1)??2
7．设f(x)在?1,3?上连续，在?1,3?内可导，且f(1)?f(3)?1，则在?1,3?内曲线y?f(x)上至少有一条切线平行于直线（ D ）。 A.y?2xB.y??2xC.y1?x2Dy.1??x 2提示：设f(x)在?1,3?上连续，在?1,3?内可导，且f(1)?f(3)?1，由拉格朗日中值定理知：
在?1,3?内至少存在一点?，使得f?(?)?即该点的斜率为?12f(3)?f(1)3?1??12
。
8. 下列各函数在[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是（ B ） A.y?ln(lnx)B.y?lnxC.y?1lnxD.y?ln(2?x)
提示：y?ln(lnx)的定义域为(1,??) y?1lnx的定义域为（0，1）?（，1??）
y?ln(2?x的定义域为)(??,2)
9．若f??(x)?0，?0?x?a?，且f(0)?0，则?0,a?上（ D ）成立。
14
A.f?(x)?01B.fx(?)0C D.f?(x)单调递增 f.x单调递增(10．曲线y?(x?2)ex （ C ）。
A.仅有垂直渐近线x??2 B. 有斜渐近线y?x?2 C.有斜渐近线y?x?3 D.没有渐近线
提示：见第一题第四小题。
11．设点?0,1?是曲线y?ax3?bx2?c的拐点，则（ A ）。
A.a?0,b?0,c?1 B. a为任意实数，b?0,c?1 C.a?1,b?1,c?0 D.a??1,b?2,c?1
提示：点?0,1?是曲线y?ax3?bx2?c的拐点，说明：（1）c?1 （2）y???6ax?2b?0,即b?0
（3）若a?0，则曲线为直线y?1，无拐点。
12. f(x)是偶函数，且在(??,0)内有f?(x)?0，f??(x)?0，则在(0,??)内有（ A．f?(x)?0，f??(x)?0 B.f?(x)?0，f??(x)?0
C.f?(x)?0，f??(x)?0 D.f?(x)?0，f??(x)?0
提示：利用偶函数图像关于y轴对称可得
13. f(x)是奇函数，且在(??,0)内有f?(x)?0，f??(x)?0，则在(0,??)内有（ A．f?(x)?0，f??(x)?0 B.f?(x)?0，f??(x)?0
C.f?(x)?0，f??(x)?0 D.f?(x)?0，f??(x)?0
提示：利用奇函数图像关于原点对称可得 14．若limx[f(x)?f(0)]x?01?cosx?1,则(B).
A.f?(0)?1B.f?(0)?12C.f?(0)?2D.f?(0)未必存在 提示：limx[f(x)?f(0)]f(x)?f(0)x2x?01?cosx?limx?0x?1?cosx?2f?(0)?1
《高等数学》第四章课外综合练习题参考答案
一、填空题
15
C ）。D ）。
1．若不定积分?解：记t?lnx
则?f?(lnx)xf?(lnx)xdx?x?C，则f(x)? 。
2dx??2tf?(t)dt?f(t)?C?e?C
所以f(x)?e2x?C 2．已知f(x)的一个原函数为
sinxx，则?xf?(x)dx? 。
sinxx)??sinxx?C
解：?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?x?(=cosx?2sinxxlnx?C
3．若不定积分?f(x)dx?解：f(x)?[lnxx?C]??x1?lnx2?C，则f(x)? 。
4．若不定积分?f(x)dx?解：f(x)?[sinxx?C]??lnxxxsinx
?C，则f(x)? 。
xxcosx?sinxx2
dx= 。
5．不定积分?arcsin解：?arcsinsinxxdx??arccossinxxlnxxdx??arccos?2xdx???2x?2dx??2x?C
6．不定积分?arctanex3arctanex?2x3dx??arccotex?2x3dx= 。
解：?dx?2?arccotex3?dx??2dx??x?3dx=???C
23?4xx27．不定积分?sinxx2sinxxdx??2cosxx1x2dx? 。
解：?dx??cosxxdx??dx?lnx?C
8．已知f(x)的一个原函数为
lnxx，则?xf?(x)dx? 。
解：?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)?
?f(x)dx?x?(lnxx)??lnxx?C=
1x?2lnxx?C
9．若?f(x)dx?F(x)?C，则不定积分?f(3x?5)dx? 。 解：记t?3x?5
16
则?f(3x?5)dx??f(t)?dt?3113?f(t)dt?13F(t)?C?13F(3x?5)?C
10．不定积分?1x(x?2)41x(x?2)4dx= 。
解：?dx??xt14(x?2)184?xdx?314?t(t?2)1dt?11[?]dt ?8tt?21 =ln81t?2?C?lnx44x?2?C （t?x）
4二、单项选择题
1．设?f(x)dx?F(x)?c，且x?at?b，则?f(t)dt=（ B ）。
A.F(x)?c B.F(t)?c C.
1aF(at?b)?c D.F(at?b)?c
注意：不定积分的定义
2．设?f(x)dx?x?c，则?xf(1?x)dx的结果是（ C ）。 A．?2(1?x2)2?C B．2(1?x2)2?C C．?注意：?xf(1?x)dx??22212(1?x)?C D．
2212(1?x)?C
2221?2f(t)dt??12t?C??212(1?x)?C （t?1?x）
223．若f?(x)?F?(x)，则下列等式中一定成立的是（ B ）。
A．f(x)?F(x)
B．f(x)?F(x)?C（C为某常数）
ddxC．f(x)?F(x)?1 D．注意：原函数的有关性质 4．
?F(x)dx?ddx?f(x)dx
?dsin(1?2x)等于（ A ）
A．sin(1?2x)?C B．?2cos(1?2x)?C C． sin(1?2x) D．?2cos(1?2x) 注意：性质有?df(x)?f(x)?C 5．下列等式中不成立的是（ C ）。
A. [?(x?1)dx]??x?1 B. d[?secxdx]?secxdx C.
?(tanx)?dx?tanx D. ?de2x?e2x?C
注意：不定积分的性质
6．?cosxdarcsinx??arcsinxdcosx?（ C ）。
A．sinx?arccosx B．sinx?arccosx?C
17
C．cosx?arcsinx?C D．cosx?arcsinx 注意：分部积分公式 7．设I??ee?x?x?1?1dx，则I?（ D ） 。
A.ln(ex?1)?C B.ln(ex?1)?C C.2ln(ex?1)?C D. x?2ln(ex?1)?C
1?exx注意：I??1?edx??(1?22exx1?e)dx?x?2ln(e?1)?C
x三、计算题 1．求不定积分：?2cost4sintcostsint24?xx2dx
解：设x?2sint，则
原式=? =?d2sint??cotx2tdt?2?(csc2t?1)dt??cott?t?C
?t?C??14?x?arcsinx2?C
2．求不定积分：?解：?1sinx?3sinxcosx2dx
2?tan2x?3tanx?t2?3tdt sinx?3sinxcosx1111t?31tanx?3 =?[?]dt?ln?C?ln?C （t?tanx）
3t?3t3t3tanxdx?1secxdx?213．求不定积分：?x?9x2dx
解：令x?3sect ，则
原式=3?tan2tdt=3?(sec2t?1)dt=3tant?3t?C
=x2?9?3arccos4．求不定积分：?1x23x?C
1?x2dx
解：令x?sint ，原式??1sintcost2dsint??costsintcost2dt??1sint2dt
??cott?C??x1?xx2?C
5．求不定积分：?e(1?xlnx)xdx
18
解：?e(1?xlnx)xxdx??exxdx??elnxdx?x?edlnx?x?elnxdx
x ?exlnx??exlnxdx??exlnxdx?exlnx?C 6．求不定积分：?sin解：?sin4xdx=?(=384xdx
1?cos2x2)dx=
214?(1?2cos2x?1?cos4x2)dx
x?14sin2x?xdx
132sin4x?C
7．求不定积分：?cos解：令x?t2，则?cosxdx??cost?2tdt?2?tdsint?2[tsint??sintdt]
x]?C
?2[tsint?cost]?C?2[xsin8．求不定积分：?cos(lnx)dx 解：令t?lnx，则：x?et
x?cos原式=?costde=etcost+?esintdt=etcost+etsint-?ecostdt
ttt所以：原式=
et2(sint?cost)?C?2x2[sin(lnx)?cos(lnx)]?C
9．求不定积分：?xdx
21?x解：设x?sint,0?t?sintcost2?2
1原式=? =
dsint??sintdt=
122(1?cos2t)dt ?212t?14sin2t?C=lnxxlnxxarcsinx?12x1?x?C
210．求不定积分：?dx
解：令x?t ，则?2dx??2lntt?2tdt?4?lntdt?4(tlnt?t)?C?2x(lnx?2)?C
《高等数学》第五章课外综合练习题（一）参考答案
一、填空题
19
1．设f(x)为连续函数，且f(0)?2，记F(x)??cosx2sinxf(t)dt，则F?(0)? 。
提示：因为F?(x)?f(cosx)(?sinx)?f(2sinx)2cosx 所以F?(0)??2f(0)??4 2．设f(x)为连续函数，则?f(x)dx?ab?baf(a?b?x)dx= 0 。
提示：
?bat?a?b?xf(a?b?x)dx???10abf(t)dt??baf(t)dt?1?1?baf(x)dx
3．设f(x)为连续的偶函数，且?f(x)dx?2，则?提示：因为f(x)为连续的偶函数，所以?101?1f(x)dx?___ _____ 。
1f(x)dx?2?f(x)dx?4
04．设f(x)为连续的奇函数，且?f(x)dx?2，则?提示：因为f(x)为连续的奇函数，所以?21?11?1f(x)dx?_ _____ 。
f(x)dx?0
15．设x?x是f(x)的一个原函数，则定积分?xf?(x)dx? 。
0提示：因为x2?x为f(x)的原函数，所以f(x)?(x?x)?2x?1
2/
10 所以?xf?(x)dx?01?10xd[f(x)]?[xf(x)]10??10f(x)dx=[x(2x?1)]?(x?x)210=1
6．由曲线y?3?x与直线y?2x所围成的平面图形的面积为 。 提示：（草图略）以x为积分变量，则x?[?3,1] 所围成的平面图形的面积S?22?1?3[3?x?2x]dx?[3x?213x?x]321?3?323
7．由曲线y?2x与直线x?y?4所围成的平面图形的面积为 。 提示：（草图略）以y为积分变量，则y?[?2,4] 所围成的平面图形的面积S??4?2[y?4?12y]dy?[212y?4y?216y]34?2?18
8．由曲线xy?1与直线y?x及直线x?2所围成的平面图形的面积为 。 提示：（草图略）以x为积分变量，则x?[1,2] 所围成的平面图形的面积S?
9．由曲线y?x与直线y?x所围成的平面图形的面积为 。
?21[x?1x]dx?[12x?lnx]221?32?ln2
提示：（草图略）以x为积分变量，则x?[0,1]
20
原式=
?2?0?2|cosx|dx=?23?02cosxdx??2?2cosxdx?2?2?3?2cosxdx
2=2sinx2?031?3?2sinx222??2sinx3?? =42
28． ?1x2dx
21?x解：令x?tant，则 ?311x2?1?x2dx??31tantsect2??4?sectdt?2?3costsint2?4dt??1sint?3?4?2?233 9． ?xarctanxdx
01解：?xarctanxdx?01?10arctanxd(12x)?21210xarctanx210?12?10x221?xdx
?10．??0?8?12(x?arctanx)??8?12(1??4)??4?12
sinx?sin?03xdx
2解：原式=?sinx(1?sinx)dx=??0cosxsinxdx
?? =?2cosxsinxdx?0???2(?cosx)sinxdx=?320sinxdsinx—???sinxdsinx
2 =
233?20(sinx)2?23(sinx)2??2=
43
高等数学》第五章课外综合练习题（三）参考答案
一、设f(0)?2，f(1)?1，?f(x)dx?3，试求积分：?x(1?x)f??(x)dx
0011解： ?10x(1?x)f??(x)dx??10x(1?x)df?(x)?[x(1?x)f?(x)]110??10f?(x)d[x(1?x)]
???f?(x)d[x(1?x)]?0?10f?(x)(2x?1)dx
10 ??10(2x?1)df(x)?[(2x?1)f(x)]1?2?f(x)dx
01 ?f(0)?f(1)?2?f(x)dx=2?1?2?3??3
0二、设f(0)?1，f(2)?3，f?(2)?5，试求定积分：?xf??(2x)dx
01 26
解：?10xf??(2x)dx??10?1?1xd?f?(2x)??xf?(2x)?2?210??1012f?(2x)dx
? ? ?三、 已知f(2)?1121252f?(2)?f?(2)??34?1411?210f?(2x)dx
104f(2x)?12f?(2)?14f(2)?14f(0)
?2
202f(x)dx?1，求定积分?xf??(2x)dx
0112,f?(2)?0及?2解：?xf??(2x)dx?0?110?1?122xd?f?(2x)??xf?(2x)?2?210??10122f?(2x)d?x?
?2f?(2)?1?10xf?(2x)dx??1012?10xd?f(2x)?
??xf(2x)?22111 ?????0
2241?10f(2x)dx??12f(2)?14?20f(x)dx
四、设f(x)具有二阶连续导数，证明?f(x)dx?01f(0)?f(1)2?12?10x(1?x)f??(x)dx
证明：因为?x(1?x)f??(x)dx?01?10x(1?x)df?(x)
10?[x(1?x)f?(x)]1??10f?(x)d[x(1?x)]
???f?(x)d[x(1?x)]?0?10f?(x)(2x?1)dx）
10 ??10(2x?1)df(x)?[(2x?1)f(x)]1?2?f(x)dx
01 ?f(0)?f(1)?2?f(x)dx
0所以：?f(x)dx?01f(0)?f(1)2?1?210x(1?x)f??(x)dx
五、 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)?0，记F(x)??xaf(t)dt??xb1f(t)dt，证明方
程F(x)?0在区间（a，b）内有且仅有一个实根。 证：因为f(x)?0
1f(x) 所以F?(x)?f(x)??2
从而F(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]上是单调增的
27
又F(a)??ab1f(t)dt?0， F(b)??baf(t)dt?0
所以，?!??(a,b)，?F(?)?0
即方程F(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个根
六、 设函数f(x)在区间[0，1]上连续，证明?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx
证：令x???t，则x??时，t?0
x?0时，t??
?0?xf(sinx)dx????00(??t)f[sin(??t)]d(??t)=?(??t)f(sint)dt
0? ? 所以
?(??x)f(sinx)dx=???0f(sinx)dx???0xf(sinx)dx
??0xf(sinx)dx??2??0f(sinx)dx
[?(t?x)f?(t)dt]?f(0)?f(x)
0x七、 设f(x)二阶可导，证明：证明：左式=
=ddxddxxddx[?(t?x)df(t)]=
0ddx[(t?x)f(t)0?x?x0f(t)dt]
[xf(0)???x0f(t)dt]=f(0)?f(x)=右式
14八、 设f(n)??40tannxdx，其中n为正整数，证明：f(5)?f(3)??5
?证明：f(5)?f(3)? ?
??tan40x?tanx?dx?3?440?tan3x?tan2x?1??dx ??3???40?tanxsecx?dx?32?0tanxd?tanx??14?tanx?4?40?14
九、 设函数f(x)在区间[?a，a]上连续，证明：??a?af(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx，并计算
0a?4?11?sinx0?a?4dx。
t??x0aa0a0证明：因为?f(x)dx??a?a??0f(?t)dt??0?af(?t)dt??a0f(?x)dx
所以：??f(x)dx?af(x)dx??f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx
?11?因此?4?dx??4??0?1?sinx?1?sinx1?sinx4??2tanx?04?2
?1???dx???402cosx2dx
28
1十、设f(x)在[0,1]上可导，且满足条件f(1)?2?2xf(x)dx，证明：在区间?0,1?内至少存在一
0点?，使得等式f(?)???f?(?)=0成立。 证明：设F(x)?xf(x)
10则F(1)?f(1)?2?2xf(x)dx?x0f(x0)?F(x0) 其中x0?(0,)
21且F(x)在?x0,1?上可导
所以由罗尔定理得：在?x0,1?内至少存在一点?，使得F?(?)?0 又(x0,1)?(0,1)，F?(x)?f(x)?xf?(x) 故结论成立。
《高等数学》第六章课外综合练习题参考答案
一、求下列方程的通解
1． (ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0 解：原方程可改写为
dydx?e?ex?yxe?x?yey?e1?e ?xye?1eexxxy 分离变量得：
eyy1?edy?e?1dx
上式两边同积分，得：?ln(1?e)?ln(e?1)?C 即：(e?1)(1?e)?C，此即为所求。 2． y??yx?sinxxxyyx
解：所给方程的通解为
y?e??xdx1dxsinx?1sinxlnx?lnx[?exdx?C]=e[?edx?C]
xx =[?x21sinxxxdx?C]=
21x[?sinxdx?C]=
C?cosxx
3. y?1?x?1?y 解：所给方程可改写为 dy1?y
2?dx1?x2 29
两边同积分得arcsiny?arcsinx?C 此即为所求 4. xy??ylny?0 解：所给方程可改写为
1ylnydy?1xdx
两边同积分得：lnlny?lnx?C 化简得y?eCx即为所求 5.
dydx?y?e?x
解：所给方程的通解为
?dxdx?x y?e?[?e?e?dx?C]?e?x(x?C)
二、求下列方程满足条件的特解 1. y??e2x?y,yx?0?0
解：原方程可改写为
edy?edx
y2x两边积分得e?又yy12e2x?C
x?0?0得C?12(e2x12
所以e?y?1)即为所求
2． cosydx?(1?e)sinydy?0解：原方程可改写为 tanydy??exx?xy?x?0?4
1?ed x
两边积分得lncosy?ln(1?e)?C 1?e?Ccosy
?4xxx又y?x?0，所以C?22 所以1?e?22cosy即为所求
30
3. (1?ex)dy?ydx?0 ， y1y1(1?e)exx?0?1
解：分离变量得dy?dx
xx两边同时积分得；lny?ln1?e?C
化简得：y?又yCexx1?e，即为所求微分方程的通解。
x?0?1，所以C?2 2exx则y?1?e，即为所求微分方程的特解。
4. y??ytanx?secx,解：所给方程的通解为
y?e?yx?0?0
??tanxdx[?secxe??tanxdxdx?C] =e?lncosx[?secxelncosxdx?C]
=又y1cosxx?0[?1dx?C]=
x?Ccosx
?0， 代入通解得：C?0 x所以y?cosx即为所求解
cosx5. y??ycotx?5e,yx??2??4
解：所给方程的通解为
?cotxdxcotxdxcosxy?e?[?5e?e?dx?C]
?1sinx[?5ecosx?sinxdx?C]?1sinx[?5ecosx?C]
又yx??2??4，得C?1
所以，ysinx?5e
cosx?1即为所求
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3. (1?ex)dy?ydx?0 ， y1y1(1?e)exx?0?1
解：分离变量得dy?dx
xx两边同时积分得；lny?ln1?e?C
化简得：y?又yCexx1?e，即为所求微分方程的通解。
x?0?1，所以C?2 2exx则y?1?e，即为所求微分方程的特解。
4. y??ytanx?secx,解：所给方程的通解为
y?e?yx?0?0
??tanxdx[?secxe??tanxdxdx?C] =e?lncosx[?secxelncosxdx?C]
=又y1cosxx?0[?1dx?C]=
x?Ccosx
?0， 代入通解得：C?0 x所以y?cosx即为所求解
cosx5. y??ycotx?5e,yx??2??4
解：所给方程的通解为
?cotxdxcotxdxcosxy?e?[?5e?e?dx?C]
?1sinx[?5ecosx?sinxdx?C]?1sinx[?5ecosx?C]
又yx??2??4，得C?1
所以，ysinx?5e
cosx?1即为所求
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