例析全等三角形中的开放性问题

例析全等三角形中的开放性问题

山西 耿京娟

随着课程改革的不断深入，一些极富有创造性、开放性的新颖题型以崭新的面貌出现。现以全等三角形为例，归类浅析加以说明： 一、条件开放型

例1如图，已知点C是∠AOB的平分线上一点，点P、P’分别在边 OA、OB上。如果要得到OP=OP’，需要添加以下条件中的 PA某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________

C①∠OCP=∠OCP’； ②∠OPC=∠OP’C；

OP’B③PC=P’C； ④PP’⊥OC

分析：若分别添加①、②、④，皆可判定△POC≌△P’OC,从而有OP=∠OP’；若添加③，则△POC与△P’OC中有SSA，因而不能判定两者相等，故本题答案为①、②、④.

评：此题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地，依据三角形全等的判定方法及性质，补充所缺少的条件。由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件. 二、结论开放题

例2.如图，AB=AD，BC=CD，AC和BD相交于E。由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明） 结论1： 结论2： 结论3：

分析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE＝∠BAE、∠DCA＝∠BCA、∠ADC＝∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB等，以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后的结论。

评：此题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结论。可解的思路具有多项的发散性。

注：结论还有许多，请有兴趣的读者再探索。 三、全面开放题

例3如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE。 （1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明。

你添加的条件是：___________ 证明：

（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程 分析：（1）在△BEA和△BDC中，已有一边及一角对应相等，即BD＝BE、∠DBC＝∠EBA， 要使两个三角形全等，可根据SAS加上条件AB＝CB或AD＝CE；也可根据ASA加上条件∠BEA＝∠BDC，总之，在添加条件的过程中要遵循三角形全等的原则。

（2）在△BEA≌△BDC的基础上，易得∠ADF＝∠CEF、∠DAF＝∠EFC、AD＝∠CE，从而有△DFA≌△EFC同时又不难得到△DCA≌△EAC。

评： 本题是条件和结论同时开放的一道好题，题目本身并不复杂，但开放程度很高，能激起学生的发散思维，值得重视。 四、猜想开放题 A例4、如图，已知为△ABC等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上， E且△DEF也是等边三角形．

F（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是

正确的；

DB（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程． 分析（1）观察图形猜想：AE=BF=CD，AF=BD=CE

C事实上，因为△ABC与△DEF都是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得到∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD， ∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE

（2）这些相等的线段可以看成经过平移、旋转而得到。如AE与BF，把AE绕着A点顺时针旋转60°，再沿着AB方向平移使A点至F点即可得BF，其余类同

评：此题为探究、猜想、并证明的试题，我们要认真观察，作出判断再加以说明；本题难度

不大，但结构较新，改变了过去的固有模式。 五、拼图开放题

例5、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。 （1）求证AB⊥ED；

（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。 ．．

分析（1）在已知条件的背景下，显然有△ABC≌△DEF，故∠A＝∠D；又∠ANP＝∠DNC，

因而不难得∠APN＝∠DCN＝90°，即AB⊥ED。 （2）由AB⊥ED可得∠BPD＝∠EFD＝90°，又BP＝BC及∠BPD＝∠CBA,根据ASA有△BPD

≌△CBA，在此基础上，就不难得到△PNA≌△CND，△PEM≌△FMB。 评：此题让我们在参与图形的变化过程中及探究活动中，激发了学生的学习热情和创造性的思维能力。 总之，条件不固定，结论不明确的开放型题，虽然解法无限制，却能反映学生对知识的总结、整合及应用能力.它以知识为载体，在考查学生所学知识的同时，更侧重考查学生运用自己已有知识，解决新问题的能力.题型在设计上由过去注重知识向当今的注重能力方向转变.增加应用意识，充分体现了我们数学学科自身的价值。

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