第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布(单元总结与测试)

第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布（单元总结与测试）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，?，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 ( ) (A)9 (B)14 (C)15 (D)21

2.（2013·三明模拟）将3个不同的小球放入4个不同盒子中，则不同放法种数有( ) (A)81 (B)64 (C)12 (D)14 3.在(x＋124)的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( ) 3x11，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是( ) 23（A）3项 （B）4项 （C）5项 （D）6项 4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为

1 61（B）甲不输的概率是

22（C）乙输了的概率是

31（D）乙不输的概率是

2（A）甲获胜的概率是

5．在区间［－1,1］上随机取一个数x，则sin?x12的值介于－与之间的概率为( ) 422?A?1125???????B?????????C?????????D? 43366.（2011·浙江高考）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) (A)

3391 (B) (C) (D)

10510107．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为

( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

(A)100 (B)200 (C)300 (D)400

9.（2012·衡水模拟）在区间［0，1］内任取两个数，则这两个数的平方和也在［0，1］内的概率是( ) (A)

???? (B) (C) (D) 410204010.（2011·四川高考）在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量?=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四

边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则(A)

m=( ) n1224 (B) (C) (D)

35315二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)

11.（2012·南平模拟）A、B、C、D、E五人并排站成一排照相，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），则不同排列的种数为_______.

223n?2n?112.（2012·龙岩模拟）若C1Cn?3n?1?85,则n的值为_____. n?3Cn?3Cn???313．某射击爱好者一次击中目标的概率为p，在某次射击训练中向目标射击3次，记X为击中目标的次数，且D（X）=

3，则p=_______. 42

14．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N(1 000,40)，则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为_______．

15.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝

5，则P(Y≥1)＝_______. 9三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.（13分）（2012·漳州模拟）某公司举办员工节日抽奖活动.共有500张奖券，其中一等奖20名，二等奖50名，三等奖100名.每人限抽一次. （1）求甲抽得一等奖的概率. （2）求甲抽得二等奖或三等奖的概率. （3）求甲不中奖的概率.

17.（13分）(预测题)某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. (1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；

（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；

（3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望. 人 科 别 甲科室 乙科室 性 数 别 男 女 6 3 4 2 18.（13分）（易错题）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过复审专家评审的概率为0.3.各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

19．（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495］，（495，500］，?，（510，515］.由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为质量超过505克的产品数量， 求ξ的分布列；

（3）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的质量超过505克的概率. 20.（14分）（2012·肇庆模拟）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2,x-y),记ξ=|x-2|+|y-x|.

(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列和数学期望. 21．（14分）（2011·陕西高考）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟） L1的频率 L2的频率 10~20 0.1 0 2030 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望.

答案解析

1．【解析】选B.当x＝2时，x≠y，y≠1,点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，x≠1,y≠1且y≠2，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.

2．【解析】选B.完成这件事分三步：第一步放第1个小球，共有4种不同的放法；第二步放第2个小球，有4种不同的放法；第三步放第3个小球，有4种不同的放法，所以完成这件事共有4×4×4=64种不同的放法.

3. 【解析】选C.Tr＋1＝C项．

r24?x???＝C324－r1xrr24x512?r6，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5

1136112设事件A为“甲不输”，则A是“甲获胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝；

623115乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为；乙不输的概率为1－＝.

666??x??. 5．【解析】选D.∵－1≤x≤1，∴－?444由－?sin4．【解析】选A.“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－－＝；

1212??x??x2?， ，得－??64442223＝5. 即－≤x≤1，故所求事件的概率为3261＋6.【解题指南】先求出“3个球均为红球”的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 【解析】选D.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有10个基本事件；“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件为“3个球均为红球”，有1个基本事件，所以“所取的3个球中至少有1个白球”的概率是1?19?. 1010k7．【解析】选C.由C5()()12k125－k1k＋11k＋1kk＋1＝C5()?()5－k－1，即C5，故k＋(k＋1)＝5，即k＝2. ＝C5228．【解析】选B.种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子

数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，∴E（ξ）＝1 000×0.1＝100，故需补种的种子数X的期望为2E（ξ）＝200. 9．【解析】选A.设在［0,1］内取的两个数为a,b, 则??0?a?1,其对应的区域为如图所示的正方形区

0?b?1?2

2

域OABC，若两数的平方和在［0，1］内，则a+b≤1， 其对应的区域为图中的阴影部分，由几何概型知所求概

率P=

S阴影S正方形OABC1???12??4?.

1?1410.【解题指南】利用古典概型的概率公式求解.首先确定构成向量的个数,然后列举能作成平行四边形的

个数，最后列举事件“面积不超过4的平行四边形”所含基本事件的个数. 【解析】选B.向量?的坐标可能有以下6种情况：（2，1），（2，3），（2，5），（4，1），（4，3），（4，5），

2以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边共可作平行四边形C6=15(个），即n=15.以向量p,q为邻边的

1(p?q)222(|p||q|)?（p?q）. ?2=|p||q|?1?平行四边形的面积S?|p||q|sin〈p,q〉=22(|p||q|)分别以p=(2,1),q=（2，3）；p=(2,1), q =(4,1); p=(2,1), q =(4,3);

p=(2,3), q =(2,5); p=(2,3), q =(4,5)为邻边的平行四边形的面积不超过4，故m=5,所以11.【解题指南】可先排其他三人，最后排A、B两人.

m51??. n153

【解析】完成这件事可分两步，第一步在5个位置中先选三个位置排C、D、E三人，有A35种不同排法，第二步在余下的两个位置上安排A、B两人，只有一种排法， ∴共有A35?1?60种不同排法. 答案：60

12.【解题指南】构成一个二项式的展开式，用二项式定理求解.

12n?2n?1【解析】C0Cn?3n?1Cnn?3(Cn?3Cn???3n)?1?3?85, 122n?1n?1即C0Cn?3nCnn?3Cn?3Cn???3n??1?3??1?3?85?256,解得n?4.答案：4

13．【解析】由题意X～B(3,p).

n

3. 412

即（2p-1)=0,∴p=.

21答案：

2∴D(X)=3p(1-p)=

14．【解析】P(1 000<ξ≤1 080)＝1 000＋80) ＝答案：47.72%

15.【解题指南】先由P(X≥1)＝【解析】∵X～B(2，p)，

11P(920<ξ≤1 080)＝P(1 000－80<ξ≤ 221×0.954 4＝0.477 2. 25利用二项分布及对立事件的概率公式求出p的值，再计算P(Y≥1). 9215.又Y～B(3，p)， 391903∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C3(1－p)＝.

2719答案：

2720＝0.04. 16.【解析】（1）P（甲抽得一等奖）＝50050100?＝0.3. （2）P（甲抽得二等奖或三等奖）＝

5005002050100??＝1?0.34＝0.66. （3）P（甲不中奖）＝1-P（甲中奖）＝1?50050050010517.【解析】（1）从甲科室应抽取的人数为3×=2,从乙科室应抽取的人数为3×=1;

1515∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C2(1－p)＝，解得p＝

0

212C6C1224C6?C4(2)从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率P?1?2? (或P=）. ?2C103C103（3）ξ的可能取值为0,1,2,3,

C2C1442P（ξ=0）=2?1?.

C10C57511C1C1C2224C624C3P(ξ=1)=2?1?2. ?C10C5C10C17552C6C113P(ξ=3)=2?1?,

C10C55P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=

34 (或 7521C6C1C1C1346C432P（ξ=2）=2?1?， ??）21C10C5C10C575∴ξ的分布列为

ξ P 0 1 2 3 224 75752219434E（ξ）=0×+1×+2×+3×=.

7555757534 751 518.【解析】(1)记A表示事件：稿件恰能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用．

则D＝A＋BC，P(A)＝0.5×0.5＝0.25， P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3， P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(BC)＝

P(A)＋P(B)P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.

即投到该杂志的1篇稿件被录用的概率为0.40. (2)记A0表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用； A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用； A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用．

4

P(A0)＝(1－0.4)＝0.129 6，

P(A1)＝C4×0.4×(1－0.4)＝0.345 6，

3

1P(A2)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1) ＝0.129 6＋0.345 6＝0.475 2，

P(A2)＝1－P(A2)＝1－0.475 2＝0.524 8.

即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率为0.524 8. 【方法技巧】较复杂事件的概率的求法

（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：

一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.

（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.

（3）一般此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.

（4）通过对较复杂事件概率的探求，可使我们充分体会到多种方法解决问题的思维方式，从而能提高我们综合应用知识来解决问题的能力. 19．【解析】（1）质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12（件）. （2）ξ的所有可能取值为0,1,2

15628C1C2632812C28P(ξ=0)=2?,P(ξ=1)= ==， 213065C40C401302C1211P(ξ=2)=2?,

C40130ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 63 13028 6511 130（3）由（1）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的质量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其质量超过505克的概率为0.3，令η为任取的5件产品中质量超过505克的产

2（0.3)2??0.7??0.308 7. 品数，则η～B(5,0.3)，故所求的概率为P(η=2）=C5?3【方法技巧】较复杂事件的概率的求法

（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：

一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.

（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.

（3）一般地此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.

（4）通过对较复杂事件概率的探求，充分体会多种方法解决问题的思维方式，从而提高综合应用知识解决问题的能力.

20.【解析】(1)∵x,y可能的取值为1,2,3, ∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,

∴ξ≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时，ξ=3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.

∵有放回抽两张卡片的所有情况有9种， 故P（ξ=3）=

22，即事件“ξ取得最大值”的概率是. 99（2）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.

因为当ξ=0时，只有x=2,y=2这一种情况， 所以P（ξ=0）=

1. 9

因为当ξ=1时，有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3，共4种情况, P(ξ=1)=

4; 92； 93 因为当ξ=2时，有x=1,y=2或x=3，y=2两种情况.P（ξ=2）=所以随机变量ξ的分布列是

ξ P 0 1 2 2 9142214因此随机变量ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×=.

9999921.【解题指南】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率，再比较概率大小；

（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可求出数学期望． 【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率，则有：P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5；

∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择路径L1； P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9；

∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择路径L2． （2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P(A)=0.6，P(B)=0.9，又事件A，B相互独立，X的取值是0，1，2， ∴P(X=0)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.4×0.1=0.04， P(X=1)=P(AB+A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.4×0.9+0.6×0.1=0.42， P(X=2)=P(AB)=P(A)·P(B) =0.6×0.9=0.54. ∴X的分布列为 X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54 1 94 92 9E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 【变式备选】

甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为

1,a,a(0

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中,若P(ξ=1)的值最大, 求实数a的取值范围. 【解析】 (1)由题意ξ的可能取值为0，1，2，3.

12120) C2 (1-a)= (1-a), 2210112201P(ξ=1)= C1×(1-a)+ ×(1-) (1-a)= (1-a), CCCa2121222P(ξ=0)= C1×(1-0

P(ξ=2)= C1?111111102C2a?1?a??C1?（1?）C2a(2a?a2), =2222122a2. P(ξ=3)= C?C2a?22所以ξ的分布列为

ξ P ξ的数学期望为

0 1 2 3 12?1?a? 211?a2? ?212a?a2? ?2a2 2111a21222??2a. E（ξ）=0×?1?a??1??1?a??2?(2a?a)?3?22222(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)= ［1?aP(ξ=1)-P(ξ=2)= ［1?a12?2 =a(1-a), ???1?a?］212?2???(2a?a2)］1?2a， 211?2a222?，P(ξ=1)-P(ξ=3)= ［?1?a??a］

22??a?1?a??0?1?1?2a?0和0?a?1,得0?a?, 由?2?2?1?2a2?0??2即a的取值范围是（0，

1］. 2

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