四奥第3讲 方阵问题(2)

第三讲 方阵问题（2）

教学课题：方阵问题 教学课时：两课时

教学目标：1．认识数学中的方阵问题，能解决生活中一些简单的方阵问题。 2.通过猜想、实践、验证发现方阵排列的规律。 3.培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重难点：了解实心方阵和空心方阵的组成和特点，会计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数。

教具准备：3×3格、4×4格、5×5格方纸、围棋子若干粒、4×4格条形吹塑纸贴在地下。 本周通知： 知识要点：

学生排队，士兵列操，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵。方阵可分为实心方阵和空心方阵两种。如果一个方阵中间都是排满了，就叫实心方阵；反之，就叫空心方阵。

教学过程：

一、情境导入（课件出示）

出示几组方队照片：

（1）阅兵方队，仔细观察你能有什么发现？

（队伍很整齐，每行和每列的人数相同，是一个方队，也叫方阵。）

（每位士兵前后的距离都相等，也就是前后士兵之间有一个间隔，间隔数等于一列队伍的人数减1。）

（每位士兵左右之间的距离相等，也就是说左右士兵之间有一个间隔，间隔数加1等于一行队伍的人数。）

（每位士兵之间都有间隔，而且士兵之间的距离是相等的。）

[设计意图：用阅兵式和实景图片引出本节课题，从学生的已有经验出发，激发学生的学习兴趣。培养学生良好的兴趣爱好。]

过渡：其实在我们的学习中有些知识间有着密切的联系，我们今天这节课就来研究有关封闭图形中的植树问题和方阵问题之间的联系。在课堂上我们可以借住一些学具能很好的进行探索和研究。下面我们就先从棋子的简单摆放开始研究，好吗？

看哪些同学观察的仔细，善于思考和发现。

让学生观察围棋的格子，动手完成3×3格、4×4格、5×5格的方阵分布。

二、教学过程

如果班上同学都已经在春季学过方阵问题，可以直接把公式复习一遍。 ? 方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） ? 去掉一行，一列的总人数=去掉的每边人数×2－1 ? 方阵最外层每边人数=（方阵最外层人数÷4）+1 ? 方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2 ? 方阵外一层比内一层人数多8

例1、（1）军训的学生进行队列表演，排成了一个每边7人的实心方阵，参加队列表演的一共有多少人？

解析：画示意图帮助学生理解，去掉人数为7×7=49（人）

（2）学校运动会上，准备在正方形的操场周围插上彩旗，如果四个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗？

解析：7×4-4=24（面）

（3）100人排成了一个实心方阵，这个方阵每边多少人？ 解析：100=10×10（人）

（4）有52个保安站在正方形体育馆的四周，四个角上都站有1人，如果每边站的人数相等，那么每边站了多少个保安？

解析：52÷4+1=14（人）

例2、（1）一个实心方阵，最外层有48颗棋子，这个方阵一共有多少颗棋子？ 解析：最外层共48颗棋子，可以算出每一边的棋子数为（48÷4）+1=13（颗）

，再算出这个实心方阵棋子总数为13×13＝169（颗）

（2）一个三层的空心方阵，最外层每边有9颗棋子，这个方阵一共用了多少颗棋子？

解析：已知最外层每边9颗，那么最外一层共有9×4－4＝32（颗），于是另外两层分别有32－8=24（颗），24－8=16（颗），这个空心方阵三层一共有32+24+16=72（颗）

例3、一些学生如果排成三层空心方阵则多10人，如果在中间空心部分接着增排一层则又少6人，问共有多少学生？

解析：在这个空心方阵中间增加第四层，需要学生10+6＝16（人），那么可以依次求出原方阵三层人数分别为24人，32人，40人。共有学生24+32+40+10=106（人）

例4、一个大型方队，最外层每边20人，最内层每边10人，中间的位置由6人进行体操表演，问这个方队共有多少人？

解析：用巧求面积时候学过的补的思想。外层每边20人，那么如果是实心方阵的话，应该共有20×20=400（人），内层每边10人，里面缺的人正好组成一个每边8人的实心方阵。中间挖去的人数为8×8=64（人），所以这个方阵共有400－64＋6=342（人）

例5、某小学有学生576人，排成一个三层空心方阵进行队列训练。求这个空心方阵最外层的每边人数。

解析：方阵外一层比内一层多8人，所以这三层的人数组成一个等差数列（或者用解和差问题的方法进行引导）。中间一层人数为576÷3=192（人）。那么最外一层有192+8=200（人）。最外层每边有200÷4+1=51（人）

例6、用棋子恰好摆成了一个每边是12枚的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少枚？

解析：实心方阵有棋子12×12=144（枚），然后问题转换为例题5。可以让学生自己

试着解决。 144÷3=48（枚）

48+8=56（枚） 56÷4+1=15（枚）

例7、小明用棋子排成一个实心方阵，后来又用了21个棋子排上去，使横竖各增加一排，成为一个大一点的实心方阵。求原来的实心方阵有多少个棋子？

解析：原来方阵每边有棋子﹙21－1﹚÷2=10（个） 有棋子10×10=100（个）

例8、小明和小兵在围棋盘上摆出了一正方形的实心棋子方阵，其中有两行、两列都是白子，这些白子共有76枚，而其余都是黑子，问这个方阵共有多少枚棋子？

解析：方法一：两行两列白子中，有四个棋子是重复了的，而每行每列棋子数是一样的。先加上重复的4个，再除以4算出这个方阵每边多少棋子（76+4）÷4=20（个），方阵共有棋子20×20=400（个）。

方法二：画一个方阵，示意说明每行每列的白子都可以移到最外一层，且刚好组成最外一层。那么这个方阵的最外一层就有棋子76个。再算出每边有棋子76÷4+1=20（个），共有20×20=400（个）

课堂小结

今天我们学习了实心方阵和空心方阵的组成和特点，掌握了计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数的方法。

在实心方阵中：物体个数=最外层一边的个数×最外层一边的个数 在空心方阵中，（每边数—1）×4=每层数 每层数÷4+1=每边数 方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2 方阵外一层比内一层人数多8

作业布置

课堂作业：练习7--10 家庭作业：练习1--6

板书设计

方阵问题

实心方阵： 例题：

空心方阵： 例题：

公式：

课后反思

练习巩固

1、有一队士兵 ,排成了一个实心方阵,最外层一周共有76人,问这个方阵共有多少人?

400

2、明明用围棋子摆成一个四层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,这个四层空心方阵共用了多少个棋子? 176

3、一些学生如果排成四层空心方阵则多13人，如果在中间空心部分接着增排一层则又少7人，问共有多少学生？ 180

4、一个方阵形桃园共有五层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃子60千克，这桃园可结桃子多少千克？ 9600

5、有一队学生排成一个中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人。这队学生有多少人? 160

6、六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，求最外面一层每边有鲜花多少盆? 20

7、用棋子恰好摆成了一个每边是20枚的实心方阵，若改为5层的空心方阵，它的最

外层每边应放多少枚？ 25

8、军训师生进行队列表演，排成一个正方形队列。如果这个队列横、竖再增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列表演的师生有多少人? 64

9、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，已知男生共有84人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有多少人? 448

10、某班同学在队列表演中恰好站成一个两层的空心方阵，外层每边站9人。若让这个班的同学在一条250米长的马路上站岗，从一端开始每隔5米站1人，则站满后还剩多少人？ 5

数学乐园

右图可以叠成一个立方体。你知道哪两个数字的面相对吗？ 缺图（84）

外层每边应放多少枚？ 25

8、军训师生进行队列表演，排成一个正方形队列。如果这个队列横、竖再增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列表演的师生有多少人? 64

9、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，已知男生共有84人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有多少人? 448

10、某班同学在队列表演中恰好站成一个两层的空心方阵，外层每边站9人。若让这个班的同学在一条250米长的马路上站岗，从一端开始每隔5米站1人，则站满后还剩多少人？ 5

数学乐园

右图可以叠成一个立方体。你知道哪两个数字的面相对吗？ 缺图（84）

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