南通四县市2008届高三联合考试
数 学 试 题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷分第Ⅰ卷（必做题）和第Ⅱ卷（附加题）两部分．第Ⅰ卷共160分，考试时间为120 分钟；第Ⅱ卷共40分，考试时间30分钟．选考历史科的考生只做第Ⅰ卷，选考物理科考生 需做第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷 及答题卡上．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．
4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答 一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷（必做题 共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1
1．已知集合A=｛x| lg|x|=0｝，B=｛x| ＜2x+1＜4｝,则A∩B= ▲ ． 22．函数y = f (x)（ x∈[－2，2]）的图象如图所示， 则f (x)＋f (-x)= ▲ ．
－2 －1 1 O 1 2 －1 x y sinAcosB?3．在△ABC中，，则∠B= ▲ ． abz4．若z1=a＋2i，z2=3－4i，且1为纯虚数，则实数a的值是 ▲ ．
z25．已知a=（2,1）,b =（x,2）,且a＋b与a－2b平行，则x等于 ▲ ．
2456第2题
6．给出数表9131822请在其中找出4个不同的数，使它们能构成等比数列，这4个数从小到大依
2730354548505254次是 ▲ ．
ππ
7．设ω是正实数，如果函数f(x)=2sinωx在[－，]上是增函数，那么ω的取值范围是 ▲ ．
438．从观测所得的到数据中取出m个a，n个b，p个c组成一个样本，那么这个样本的平均数是 ▲ ． 9．若长方体相邻三个侧面的面积分别是2，3，6，则该长方体的体积是 ▲ ．
10．设直线2x＋3y＋1=0和圆x2＋y2－2x－3=0相交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线方程是 ▲ ． 11．右图给出的是计算
1111值的一个程序 ?????246100开始 S←0 框图，其中判断框中应该填的条件是 ▲ ． 12．某厂家根据以往的经验得到下面有关生产销售的统计：
每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，
I←0 N G（x）=2＋x；销售收入R(x)（万元）
Y ??0.4x?4.2x?0.8满足：R(x)??10.2?2输出S 结束 (0?x?5);
(x?5).I←I+2 S←S+1/I （第11题）
要使工厂有赢利，产量x的取值范围是 ▲ ．
13．若a,b均为正实数，且a?b?a?mb恒成立，则m的最小值是 ▲ ． 14．下列四种说法：
①命题“?x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“?x∈R，都有x2＋1≤3x”；
②“m=－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1=0与直线（m－2）x＋(m＋2)y－3=0相互垂直”的必要不充分条件； ③在区间[－2，2]上任意取两个实数a，b，则关系x的二次方程x2＋2ax－b2＋1=0的两根都为实数的概率为1?④过点（
?16
；
11，1）且与函数y=图象相切的直线方程是4x＋y－3=0． 2x其中所有正确说法的序号是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
ππ→→
已知向量AB =（1＋tanx，1－tanx），AC =（sin(x－)，sin(x＋)）．
44→→
（1）求证：AB ⊥AC ；
ππ→（2）若x∈[－，]，求|BC |的取值范围．
44
16．（本小题满分14分）
先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b． （1）求直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切的概率；
（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
17．（本小题满分15分）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2． （1）证明：面BDD1 B1⊥面ACD1；
（2）若E是BC1的中点，P是AC的中点，F是A1C1上的点， C1F=mFA1，试求m的值，使得EF∥D1P． 18．（本小题满分15分）
已知函数f(x)=x2－x＋alnx
(1)当x?1时，f(x)?x2恒成立，求a的取值范围； (2)讨论f(x)在定义域上的单调性；
19．（本小题满分16分）
已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c＞0)是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是
D1 A1
D A P B
第17题
F B1 E
C C1
529c22(x?c)?y?．
416（1）若P是圆M上的任意一点，求证：
|PF1|是定值； |PF2|（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=（3）在（2）的条件下，若|OQ|=
20．（本小题满分16分）
3，求椭圆的离心率； 534，求椭圆的方程． 2一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列｛an｝，对于任意正整数n，当n为奇数时，an=n；当n为偶数时，an=an．
2（1）试写出该数列的前6 项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？ （3）求该数列的前2n项的和Tn．
第Ⅱ卷（附加题 共40分）
一．选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题
10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．(几何证明选讲)已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O
F
上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，B 过点E作EF⊥CE交CB延长线于点F．若CD=2，CB=22，求EF的长．
2．（矩阵与变换）已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为
C D ． P E
O
A 第1题
?1??1?，属于特征值3的一个特征向量为??3??1?，求矩阵A． ???? 3．（坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极
?2t?1?x??2轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：?，求直线l与曲线C?y?2t??2相交所成的弦的弦长．
4．（不等式选讲）求函数f(x)=sin3xcosx的最大值．
P 二．必做题：本大题共2道解答题，每题10分，共20分，
5．在正三棱锥P—ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点， PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值． D B C
O
A
第5题
6．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的 代表队参加比赛． （1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望； （2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对
矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？
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数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、填空题：
1．｛—1｝ 2．0 3．45° 4．
83 5．4 6．如2，6，18，54等 7．(0,3] 8 ．ma?nb?pc
2m?n?p9．6 10．2y－3x＋3=0 11．I ≤98，或I＜100等 12．（1，8.2） 13．2 14． ①③ 二、解答题
ππ→→15．证：（1）AB ·AC =（1＋tanx）sin(x－)＋（1－tanx）sin(x＋) -----------------------------------3分
44 =2cosx?sinxcosx?sinx[(sinx?cosx)?(sinx?cosx)]=0 ------------------------------6分 2cosxcosx→→∴AB ⊥AC
ππ→
（2）|AC |= sin2（x+)＋sin2(x－)=1 ----------------------------------------------------------------8分
44
→→→→→
∵AB ⊥AC ，|BC |2=|AB |2＋|AC |2 =3＋2 tan2x ------------------------------------------11分 ππ→∵x∈[－，]，0≤ tan2x ≤1，∴3≤ |BC | ≤5 -----------------------------------14分
4416．解：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．------2分 ∵直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的充要条件是
5a2?b2?1即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝
∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5；或a=4,b=3,c=5两种情况． ---------------------------4分 ∴直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是
21? ----------------------------7分 3618（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36． ∵三角形的一边长为5 ∴当a=1时，b=5，（1，5，5） 1种 ----------------------8分 当a=2时，b=5，（2，5，5） 1种 ----------------------9分 当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5） 2种 ---------------------10分 当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5） 2种 ---------------------11分 当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5） 6种 --------------------12分
当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5） 2种 ---------------------13分 故满足条件的不同情况共有14种
答：三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为14?7． ---------------------------14分
3618
17．证明（1）：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB= AD=2，
A1
D1 Q D C1
F B1 E
C A P B
故四边形ABCD是正方形，AP⊥DP， 又∵D1D⊥面ABCD，AP?面ABCD ∴D1D⊥AP ，D1D∩DP=D ∴AP⊥面BDD1B1 ∵AP?面AD1C
∴面BDB1D1⊥面ACD1 --------------------------------------------------------------7分 解（2）：记A1C1与B1D1的交点为Q，连BQ，
∵P是AC的中点，∴D1P∥BQ，要使得EF∥D1P，则必有EF∥BQ 在△QBC1中，E是BC1的中点， F是QC1上的点，EF∥BQ
∴F是QC1的中点，即3C1F=FA1，故所求m的值是． --------------------------------15分 18． (1)解：由 f(x)?x2恒成立,得:alnx?x在x?1时恒成立
当x?1时a?R -------------------------------------------------------------2分 当x?1时即a?13xxlnx?1，令g(x)? , g?(x)? ------------------------4分 2lnxlnxlnx x?e时g?(x)?0 ,g(x)在x?e时为增函数， g(x)在x?e时为减函数
∴ gmin(x)?e ∴ a?e ------------------------------------------------------7分
a2x2?x?a(2)解：f(x)=x－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋=，x＞0
xx1（1）当△=1－8a≤0，a≥时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．------------9分
81（2）当a＜时
81?1?8a1?1?8a1?1?8a1?1?8a1??0，f(x)在[,]上为减函数， ①当0＜a＜时，
222281?1?8a1?1?8a],[,??)上为增函数． --------------------------11分 f(x)在(0,222
②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． ----------------13分
1?1?8a1?1?8a?0，故f(x)在（0，]上为减函数， 221?1?8a f(x)在[，＋∞）上为增函数． ----------------------------------------15分
2529c2219．（1）证明：设P（x,y）是圆(x?c)?y?上的任意一点，
416③当a＜0时，|PF1|(x?c)2?y2=?|PF2|(x?c)2?y29c25cx25c22?x???x2?2cx?c216216 =3 229c5cx25c?x2???x2?2cx?c216216|PF1|∴=3 ----------------------------------------------------------------5分 |PF2|（2）解：在△F1QF2中，F1F2=2c，Q在圆上，设|QF2|=x，则|QF1|=3x，椭圆半长轴长为2x，
4c2=x2＋9x2－6x2×，5c2=8x2 e2=(3510c22． ---------------------------------------------------------11分 )?，e=52x5（3）由（2）知，x=555c，即|QF2|=c，则|QF1|=3c 888????21?????????21|QO|?|QF1?QF2|?(|QF1|2?|QF2|2?2|QF1||QF2|cos?F1QF2)
44145515317?(c2?c2?2??c2)?c2 4888583410c，∴c=2，进一步由e= =得到a2=10，b2=6 25ax2y2??1． --------------------------------------------------------16分 所求椭圆方程是
10620．解：（1）a1=1，a2=1，a3=3，a4=1，a5=5，a6=3． --------------------------------------3分 （2）第1个5出现在第5项，第2个5出现在第2×5=10项，第3个5出现在第22×5=20项，第4个5出现在第23×5=40项，依次类推． 第10个5是该数列的第29×5=2560项． -------------------------------------8分
由于|OQ|=
（3）Tn= a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2n?1?a2n
=（a1＋a3＋a5＋…＋a2n?1 ）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a2n） =（1+3+5+7+…+（2n－1）＋（a1＋a2＋a3＋…＋a2n?1 ）
=4n1＋Tn－1 （n≥ 2） --------------------------------------11分
－用累加法得：Tn=T1＋4＋42＋…＋4n1=(4n?2) （n ≥ 2）---------------------------------14分
－
13当n=1时，T1=2=(4?2) ∴对一切正整数n都有Tn=
131n(4?2)． ----------------------------------------------16分 3第Ⅱ卷
一．选做题
1．解：连PB，BC切⊙P于点B，PB⊥BC，
CD=2，CB=22，由切割线定理得：CB2=CD·CE
CE=4，DE=2，BP=1， -----------------------------------------------5分 又∵EF⊥CE ∴△CPB∽△CFE，得：
EFCE，EF=2 --------------------------10分 ?PBCB?1??1??1?=3?1? -------------2分 ?????a2．解：设A=??cb??ab?，由题知?cd?d?????1???1??ab???3?=?3?，?cd????????a?3b??1?即?c?3d?3， ------------------------------------------------6分 ??a?b?3??c?d?3?a?2??2解之得：?b?1 ∴A=???3?c?3??d?01? -------------------------------------------------10分 0??3．解：曲线C的极坐标方程是??4cos?化为直角坐标方程为x2＋y2－4x=0，
即（x－2）2＋y2=4 --------------------------------------2分
?2t?1?x??2直线l的参数方程?，化为普通方程为x－y－1=0，-------------------------------4分 ?y?2t??2曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12 -------------------------------------6分 ?222所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24?1=14． --------------------------------10分 4．解：当sinxcosx＜0时，函数f(x)不可能取最大值． ---------------------------------------2分
当sinxcosx＞0时，f 2 (x)=sin6xcos2x =27（sin2x）（nis131321（nx）is32x）cos2x ----------------------------------8分
411?12?sinx?sin2x?sin2x?cos2x??27 33 ≤27?3=?2564????f(x)的最大值是33． ------------------------------------------------------10分
16二．必做题：
5． 解：以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角
坐标系．因△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则 P（0，0，2）， A（2B（－333，0，0）， 3z P D C A B O y ，1，0）， C（－3333，－1，0），
x D是PA的中点，故D（，0，1）
3，－1，1）-------------------------------------------------------23→→
BC =（0，－2，0），BD =（2分
→→→→→设n =（x，y，z）是平面BDC的一个法向量， n ·BC =0且n ·BD =0，
2y?0??y?0??即：?23，化简得：?23 --------------------------------------------5分
x?y?z?0z??x??3?3?取x=3，则y=0，z=－2，
3→→
平面BDC的一个法向量是n0 =（3，0，－2），PB =（－，1，－2）
3→→cos
由于PB 和n0 所成的角与PB与平面BDC所成角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为
321． ------------------------------------------------------------------10分 286．解：（1）随机变量X的概率分布如下表：
X 0 1 2 3 4 5
05142332150C6C5 C6C5 C6C5 C6C5 C64C5C6C5 P
5C115C115C115C115C115C11 ----------------------------------------------------------3分
05142332150C6C5C6C5C6C5C6C5C64C5C6CE（X）=0×5＋1×5＋2×5＋3×5＋4×5＋5×55
C11C11C11C11C11C11 =
630≈2.73 ----------------------------------------------------------5分 2313122（2）①上场队员有3名主力，方案有：（C6）（C5）=144（种） ---------------6分 ?C4?C2421②上场队员有4名主力，方案有：（C6）C5=45（种） -------------------7分 ?C453041③上场队员有5名主力，方案有：（C6）C5=C4?C4C2=2（种） ----------------------8分
教练员组队方案共有144＋45＋2=191种． ------------------------------10分
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