上海市奉贤区2017届高三12月调研测试(一模)数学试题(含答案)

2017届奉贤区高三数学调研测试题

（满分150分，完卷时间120分钟）

一、填空题(本大题满分54分)(本大题1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)考生必须在答题纸相

应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．

1．已知集合A?{?2,?1},B?{?1,2,3}，A?B?____________. 2．已知复数z满足z(1?i)?2,其中i是虚数单位，则z?____________. 3．方程lg(x?3)?lgx?1的解x?____________.

4．已知f(x)?logax(a?0,a?1)，且f?1(?1)?2，则f?1(x)?____________.

5．若对任意实数x，不等式x?1?a恒成立，则实数a的取值范围是____________.

2x2?y2?1的右焦点重合，则p?____________. 6．若抛物线y?2px的焦点与椭圆52

7．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____________.

8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.

229．互异复数mn?0，集合?m,n??m,n，

??则m?n?____________.

10．已知等比数列{an}的公比q，前n项的和Sn，对任意的

主视图 左视图

n?N*,Sn?0恒成立，则公比q的取值范围是___________.

俯视图

???x?sin?cos?11．参数方程?22?y?1?sin??,???0,2??表示的曲线的普通方程是____________.

12．已知函数f?x??sinwx?coswx?w?0?,x?R，若函数f?x?在区间???,??内单调递增， 且函数f?x?的图像关于直线x??对称，则?的值为____________.

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相

应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

13．对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx2?ny2?1”表示的曲线是双曲线”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．若方程f(x)?2?0在(??,0)内有解，则y?f(x)的图像可能是（ ）

?x?0?x?sinx,(??[0,2?)是奇函数，则??（ ） 15．已知函数f(x)??2x?0???x?cos(x??),2?3? C．? D．

2216．若正方体A1A2A3A4?B1B2B3B4的棱长为1，则集合

??????????x|x?A1B1?AiBj,i??1,2,3,4?,j??1,2,3,4?中元素的个数（ ）

A．0 B．

??A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（第17-19每个满分14分，第20满分是16分，第21满分18分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．

（1）求三棱锥P?ACO的体积； （2）求异面直线MC与PO所成的角．

ABMP

OC18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分

已知函数f?x??log2a2x?ax?2 ?a?0?，且f?1??2． （1）求a和f?x?的单调区间；

（2）解不等式 f?x?1??f?x??2．

19．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分

一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A，B在一直线上，并与航线成角

????0???900?．轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45?方向，灯塔B在北偏东??0???900?方向，00?????900．求CB．（结果用?,?,b的表达式表示）．

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分

6分

y2?1的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，过双曲线x?其中P是AB42的中点.

（1）求双曲线的渐近线方程； （2）当P?x0,2?，求直线l的方程； （3）求证：OA?OB是一个定值．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

8分

设数列{an}的前n项和为Sn.若

1an?1??2?n?N*?，则称{an}是“紧密数列”. 2an3,a3?x,a4?4，求x的取值范围； 2（1）若{an}是“紧密数列”，且a1?1,a2?（2）若?an?为等差数列，首项a1，公差d，公差0?d?a1，判断?an?是否为“紧密数列”； （3）设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围.

2017高三数学调研参考答案

填空题1（1-6，每个4分）

1．??1? 2．1?i

?1?3．5 4．??

?2?5．a??1 6．4 x填空题2（7-12，每个5分）

7．5 9．?1 11．x2?y,?0?x?2? 选择题（每个5分）

13．C 15．D

8．

3?32 10．??1,0???0,???12．?2

14．D 16．A

三、解答题（17-19每个满分14分，20满分是16分 ，21满分18分） 17．（1）点C是弧AB的中点，OC?AB， 2分

PO?面AOC 4分

三棱锥P?ACO的体积V?11??4?4?3?8 7分 32（2）如图，建立空间直角坐标系，

A?0,?4,0?，B?0,4,0?，C?4,0,0?，P?0,0,3? 9分

?3?M?0,?2,?2? 10分 ?zP????????3?MC??4,2,??2????

????PO??0,0,?3?

M3??????????3MC?PO3892cos?????????????899MCPO 13分 3?4?4AOByCx所以异面直线所出的角是也可以用平移法:

arccos38989 14分

连MO，过M作MD?AO交AO于点D，连DC． 又PO?52?42?3，?MD?35．又OC?4，OM?． 22P ?MD//PO，??DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角． 可知MD?DC,DC?25，tan?DMC?DC2545??

3MD32AM异面直线MC与PO所成的角arctan

45 3DCOB18．解：（1）f(1)?log2(a2?a?2)?2 1分 所以a2?a?2?4 2分 所以a?2 或 a??3(舍) 3分 所以函数f(x)?log2(4x?2x?2)

又因为4x?2x?2?0 4分 得(2x?2)(2x?1)?0，2x?1，所以定义域D?(0,??) 5分 所以f(x)?log2(4x?2x?2)的单调递增区间为(0,??) 6分 设t(x)?4x?2x?2 任取0?x1?x2

t(x1)?t(x2)?4x1?2x1?2?(4x2?2x2?2) =4x1?4x2?2x1?2x2?(2x1?2x2)(2x1?2x2?1)因为y?2x为增函数，2x1?2x2?1?0,2x1?2x2?0，?t(x1)?t(x2)?0

f(x1)?f?x2??log2t?x1??log2t?x2??0

?f(x1)?f?x2? 9分

所以f(x)?logx2(4x?2?2)的单调递增区间为(0,??) 9分 （2）f?x?1??f?x??2得f?x?1??f?x??2

logx?12(4?2x?1?2)?log24(4x?2x?2) 11分 4x?1?2x?1?2?4(4x?2x?2)?4x?1?4?2x?8

所以2x?3， 12分

x?log23 13分

所以不等式的解集为(0,log23) 14分

7分

19． 环节 建模（满分7分） 分值 0分 1分 2-5分 答题表现 没有体现建模意识 画出大致示意图或有等价文字描述，如图1 画出大致示意图或有等价文字描述，将已知的4个数据标在图中，每个1分，如图2 6-7分 画出大致示意图或有等价文字描述，已知的4个数据标在图中，在解题过程中将AC和角B正确地用相应的量表示，1个1分，如图3 求解0分 2分 4分 7分 结果与求解均不正确 求解过程正确，并且AC和角B不正确 求解过程正确，并且AC和角B之一正确 求解过程正确，并且AC和角B，BC正确 （满分7分）

图1 图2 图3

解：在?APC中，?ACP?45，?PAC?135??

00ACPC? sin?sin?PACACPCb?? sin?sin?PACsin(135???)所以AC?bsin?2bsin?= 2分

sin(135???)sin??cos?解法2：作AH?PC，设AC?x

?APC?450，AH?CH?22x，PH?x?cot?， 22?

222b 2分 x?cot??x?b，x?AC?221?cot?（2）因为?B?1800????450???450????900?????? 4分

又因为00?????900，所以00?B?900 在?ABC中ACsinB?BCsin?BAC 所以BC?sin?BACsinB?AC=sin?cos(???)?b 7分

若BC?sin?BACsinB?AC=2sin???450??1?cot??cos(???)?b 不扣分 y220．解(1)令x2?4?0 得y??2x 所以双曲线的渐近线方程为y??2x 3分 (2)因为P在双曲线上，所以x240?4?1，x0??2， 又因为P在双曲线右支，所以x0?2 5分 设直线l:y?2?k(x?2)

?y?2?k联立方程组?(x?2)?2 消元得(4?k2)x2?2(2?2k)kx?4?(2?2k)2?2y?x?4?1?0又因为xk)k1?x2?2(2?24?k2?22， 7分 得k?22 8分 所以直线l:y?22x?2 9分 当k不存在时，x?2与渐近线的交点的中点为(2,0) 不合题意 10分

所以直线l的方程为y?22x?2

(3)设直线l与渐近线y?2x 与y??2x分别交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 所以AB中点P(x1?x2y1?2,y22)，即P(x1?x22,x1?x2) 12分 P(x1?x2?x?x222,x?x??x?x?12)在双曲线上，?12?2???124?1 13分

得x1x2?1 14分 又因为OA?OB=5|x1|?5|x2|?5|x1x2|?5为定值 16分

6分 解法2：

当直线斜率不存在时，x0?1，A?1,2?,B?1,?2?，OA?OB?5 11分 当直线斜率存在时，设直线l:y?2?k(x?2)

??y?2?k(x?2)?kx?y02kx0?2y?0 A?0,??，

k?2??k?2??y?2x?kx?y02kx0?2y0?B?0,? 12分

?k?2k?2?若P是AB的中点.

kx0?y0k?2?kx0?y04xk?2?2x0，?k?0y 0OA?1?4xkx0?y0A?5k?2 OB?1?4xkx0?y0A?5k?2 2OA?OB?5kx0?y0k2?4???5

分

14分

15分

16分

13

??1???2?121．解：(1)??32?21x?2 2分 ?23??2?14?2?x?2 ? 2?x?3 4分 (2)因为等差数列?an?，0?d?a1

所以an?a1?(n?1)d?0 5分 即证

1an2??1a?2?n?N*?恒成立 n即证

12an?an?1?2an 6分 ①a111n?1?2an?2an?d?0所以an?1?2an 8分

②2an?an?1?an?d?a1?(n?2)d?d?(n?2)d?(n?1)d?0

所以an?1?2an 10分 所以?an?是为“紧密数列” 也可以作差法：

因为等差数列?aan?1an?1?2ana1?nd?2??a1??n?1?d??n?，a?2?a? nnan?d?a1a n因为等差数列?an?，0?d?a1 所以an?a1?(n?1)d?0 an?1a?2 nan?112an?1?an2?a1?nd????a1??n?1?d??a?2?2a?

nnan?a1??n?1?da?0 n5分 6分 7分

8分 10分

(3)解：(解法1)由数列{an}是公比为q的等比数列，q?因为{an}是“紧密数列”，所以① 当q?1时，Sn?na1，

an?1， an1?q?2 11分 2Sn?1S111

?1?，所以2≤1＜n?1?1?≤2. SnnSnn故q?1时，数列?Sn?为“紧密数列”，故q?1足题意． 12分 ② 当q?1时，Sn?a1?1?qn?1?qSn?11?qn?1，则. 13分 ?nSn1?qn?11?q1S*n?N因为数列?Sn?为“紧密数列”，所以≤n?1?≤2对于任意恒成立． n2Sn1?q(ⅰ) 当

11?q?1时，?1?qn??1?qn?1?2?1?qn?， 22n??q?2q?1??1*即?n对于任意n?N恒成立． 14分 ??q?q?2???13n因为0?q?q?1,0?2q?1?1,??q?2??1，

2所以0?qn?2q?1??q?1，0?qn?q?2??q?q?2??1?3?3????????1， 2?2?4n?1?q?2q?1??1*所以，当?q?1时，?n对于任意n?N恒成立． 15分

2??q?q?2???1(ⅱ) 当1?q?2时，

1nq?1??qn?1?1?2?qn?1? ?2n??q?2q?1??1*即?n对于任意n?N*恒成立． 16分 ??q?q?2???1因为q?q?1,2q?1?1,?1?q?2?0，所以?n??q?2q?1??1解得q?1.

??q?q?2???1又1?q?2，此时q不存在． 17分

综上所述，q的取值范围是?,1?. 18分

?1??2?

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