2015高考数学真题分类汇编专题11 排列组合、二项式定理

专题十一 排列组合、二项式定理

1.【2015高考陕西，理4】二项式(x?1)n(n?N?)的展开式中x2的系数为15，则n?（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C

2rr【解析】二项式?x?1?的展开式的通项是?r?1?Cnx，令r?2得x2的系数是C2n，因为x2的系数为15，所以C2n?15，即n?n?30?0，解得：n?6或n??5，因为n???，所

n以n?6，故选C． 【考点定位】二项式定理．

【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n???”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式?a?b?kn?kk的展开式的通项是?k?1?Cnab．

n2.【2015高考新课标1，理10】(x?x?y)的展开式中，xy的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【答案】C

2552【解析】在(x?x?y)的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x，其余因

212式取y,故xy的系数为C5C3C2=30，故选 C.

2552【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）

（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 【答案】B 【解析】

33据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2?A4个；若万位上排5，则有3?A4个.所33以共有2?A4?3?A4?5?24?120个.选B.

【考点定位】排列组合.

【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.

4.【2015高考湖北，理3】已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）

A.212 【答案】D

B．211 C．210 D．29

37【解析】因为(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn，解得?Cnn?10，

所以二项式(1?x)10中奇数项的二项式系数和为【考点定位】二项式系数，二项式系数和.

【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：

012nCn?Cn?Cn?????Cn?2n，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等024135Cn?Cn??Cn?????Cn?Cn??Cn?????2n?1.

110?2?29. 25、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．

【考点定位】排列问题．

【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．

1??386.【2015高考重庆，理12】?x??的展开式中x的系数是________(用数字作答).

2x??【答案】

55 2k535?k【解析】二项展开式通项为Tk?1?C(x)1kk15?72k7k()?()C5x，令15??8，解得

222x1k15k?2，因此x8的系数为()2C52?.

22【考点定位】二项式定理

【名师点晴】(a?b)的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指

k，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指Cnn该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.

7.【2015高考广东，理9】在(x?1)4的展开式中，x的系数为 . 【答案】6．

【解析】由题可知Tr?1?Cr4??x4?r??1??C??1?xr4rr4?r2，令

4?r?1解得r?2，所以展22开式中x的系数为C4??1??6，故应填入6．

2【考点定位】二项式定理．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟

rn?rr记二项展开式的通项即展开式的第r?1项为：Tr?1?Cnabn?N*且n?2,r?N．

??8.【2015高考四川，理11】在(2x?1)的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字作答）.

【答案】?40. 【解析】

5(2x?1)5??(1?2x)5，所以x2的系数为?C52?(?2)2??40.

【考点定位】二项式定理.

【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.

1??29.【2015高考天津，理12】在?x? 的展开式中，的系数为 . x?4x??【答案】

615 166rr1?1??1?r6?2r?r6?r?【解析】?x?展开式的通项为由6?2r?2得T?Cx?r?16???????C6x，4x4x4??????15?1?22152x?x，所以该项系数为. r?2，所以T3????C61616?4?【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.

2【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当r?2时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.

10.【2015高考安徽，理11】(x3?)7的展开式中x5的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35

r【解析】由题意，二项式(x3?)7展开的通项Tr?1?C7(x3)7?r()r?C7rx21?4r，令

1x1x1x21?4r?5，得r?4，则x5的系数是C74?35.

【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.

【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂

的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.

11.【2015高考福建，理11】?x?2? 的展开式中，x2的系数等于 ．（用数字

作答） 【答案】80

232【解析】?x?2? 的展开式中x2项为C52x?80，所以x2的系数等于80．

55【考点定位】二项式定理．

【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．

12.【2015高考北京，理9】在?2?x?的展开式中，x3的系数为 【答案】40

5．（用数字作答）

【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.

【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式Tr?1?Cnran?rbr，准确计算指定项的系数.

13.【2015高考新课标2，理15】(a?x)(1?x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a?__________．

4【答案】3

【解析】由已知得(1?x)?1?4x?6x?4x?x，故(a?x)(1?x)的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a?4a?1+6+1=32，解得a?3． 【考点定位】二项式定理．

【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．

3a??2【2015高考湖南，理6】已知?x? ?的展开式中含x的项的系数为30，则a?（ ）

x??423445A.3 B.?3 C.6 D-6 【答案】D. 【解析】

试题分析：Tr?1?C(?1)ax【考点定位】二项式定理.

【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握(a?b)的二项展开

式的通项第

rn?rrab，即可建立关于a的方程，从而求解. r?1项为Tr?1?Cn10r5rr5?r2，令r?1，可得?5a?30?a??6，故选D.

n1??【2015高考上海，理11】在?1?x?2015?的展开式中，x2项的系数为 （结果用

x??数值表示）． 【答案】45

1?1?1??1【解析】因为?1?x?2015???(1?x)?2015??(1?x)10?C10(1?x)92015?x?x?x??10828x2项只能在(1?x)展开式中，即为C10x，系数为C10?45.

1010，所以

【考点定位】二项展开式

【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

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