一次函数与二次函数解题技巧

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直线与二次函数解题方法闫萧寒 博士

提起中考倒数第二道大题——二次函数，很多同学可能就会觉得头疼。二次函数大题一般二到三问，其中第一问送分题，计算一次函数解析式，或者计算点坐标；第二和第三问，考察学生知识的融合能力，以抛物线为几何载体的代数几何综合能力考察，涉及三角形、四边形的特殊图形动点问题，相似问题，图形判定以及面积计算等。

很多学生从第二问开始，有时候就是老虎吃天，无从下手，知识点，模型记了一大推，结果反而失去了自我思考自我总结的能力，题目稍微一新颖，稍微一灵活，稍微一难，他们不晓得该从哪个知识点下手了。

本文主要给正在上初三和即将升入初三的同学讲讲一条线的事儿，即直线在解决二次函数大题时的一些巧妙运用。

希望可以帮助大家，辨真去伪，直抓核心。 中考加油！

【一条线的事儿·知识点篇】

那些年，直线不可不知的秘密——精简核心版

1. 直线表达式 名称 斜截式 表达式 需要的已知条件 斜率k y轴截距b 斜率k 点斜式 直线上任一点(x0,y0) 直线上两点 注意 不包含与y轴平行的直线 不包含与y轴平行的直线 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线 A、B不同时为0 y?kx?b y?k(x?x0)?y0 y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1xy??1 abAx?By?C?0 两点式 A(x1,y1)，B(x2,y2) 直线与x轴截距a y轴截距b 截距式 一般式 2. 斜率和截距 A. 斜率定义：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

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B. 斜率计算：

① ()

② 已知直线上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线斜率为kAB?③ 已知直线的一般式：Ax?By?C?0，则 3. 两条直线位置关系（仅仅研究特殊情况：垂直和平行）

已知直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2 A． 若两直线垂直，则k1k2??1 B． 若两直线平行，则k1?k2,b1?b2 4. 直线平移（关键）

已知直线l:y?kx?b

则与他平行的直线方程可设为：l':y?kx?c

5. 两点距离公式

已知平面内任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则dAB?

6. 直线与二次函数交点和韦达定理

y2?y1(x2?x1)

x2?x1(x2?x1)2?(y2?y1)2

B?x?x????y?kx?m?12A2Ax?Bx?C?0联系化简得，则韦达定理可知： ??2Cy?ax?bx?c??x?x?12??A另外，

① 方程组有两组不同的解时，直线与二次函数有两个交点; ② 方程组只有一组解时，直线与二次函数只有一个交点； ③ 方程组无解时，直线与二次函数没有交点

7. 补充知识

两个三角形面积相等： 等底等高

三角形面积最大：定底边，令高最大即可。

8. 平行线间的对称（关键）

已知直线l1:y?kx?b1和l:y?kx?b

则直线l1关于直线l对称的直线l1的方程为l2:y?kx?b2，其中b2?2b?b1

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【一条线的事儿·应用篇】

面积有关的动点存在性问题：面积最值，面积相等

1. (2009?陕西)如图，在平面直角坐标系中，OB⊥ OA,且OB=2OA,点A的坐标是(﹣1，2). （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO．

【解析】第一问考察三角形相似，第二问考察抛物线表达式求解。 第三问动点存在性问题，要求面积相等。需要牢记两个三角形面积相等的条件——等底等高。选公用边为底边，过另一点做底边平行线，再对称做一条即可。 充分利用直线对称平移的性质，简单题目，简单运用。

解：(1)过点A作AF⊥x轴，垂足为点F， 过点B作BE⊥x轴，垂足为点E， 则AF=2，OF=1 ∵ OA⊥OB，

∴∠AOF+∠BOE= 又∵∠OBE+∠BOE= ∴∠AOF=∠OBE

∴Rt△AFO∽ Rt△OEB ∴

∴BE=4,OE=2 ∴B(4,2)

(2) 设过点A(-1,2)，B(4,2)，O(0,0)的抛物线表达式为

y?ax2?bx?c

1?a??2?a?b?c?2?3??∴?16a?4b?c?2解得，?b??

2??c?0??c?0??∴抛物线表达式为：y?123x?x 22(3)由题意可知，S△ ABP=S△ ABO

又∵S△ ABP=AB·d，S△ ABO=AB·AF 又∵AB//x轴，

∴满足题意的P点为y=0和y=4这两条直线与抛物线的交点。

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13令y=0,即x2?x?0，得x=0或x=3

22∴(0.0)， (3,0)

令y=4,即

1233?41x?x?4，得x? 222∴(，4)， (，4)

2.如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥ x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△ OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△ DCA的面积最大，求出点D的坐标． 【解析】

第一问求解抛物线解析式，根据所给点，灵活选择设抛物线表达式的形式，两点式，顶点式还是一般式；第二问图形变换，找相似三角形，一般没有指明谁对应谁时，两三角形相似总计六种可能，但题目必然会通过定一角，将相似种类缩少到两种。

第三问便是咱们的一条线的事儿啦，采用三角形底一定，高最大，则面积最大。而高最大的找法就是利用平行于底边的一条线，平移它可以发现，当它与抛物线有且仅有一个交点时，高最大。

解：(1) 设过点A（4，0），B（1，0）的抛物线表达式为y?a(x?1)(x?4) 又∵抛物线过C（0，﹣2）

1∴代入抛物线表达式得a??

215∴抛物线表达式为y??x2?x?2

22（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m，

∵P是抛物线AB段上一动点，∴1＜m＜4， 则P点的纵坐标为，

当1＜m＜4时，AM=4﹣m，． 又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时，△APM∽△ACO，即． 解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）． ②当时，△APM∽△CAO，即．

解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m＜4时，P（2，1）． 综上所述，符合条件的点P为（2，1）；

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(3)∵ ==AC·d，且AC为定值

∴d取最大值时，面积最大

即点D到直线AC的距离最大时，面积最大。

D

1x?2 21∴设过点D且平行于AC的直线方程为y?x?m

2又∵过AC的直线表达式为lAC:y?125?y??x?x?2?12?22联立? 化简得，?x?2x?2?m?0

2?y?1x?m??2

∵当有且仅有一个交点时，满足点D到直线AC的距离最大

∴??b2?4ac?2m?0 ∴m=0

∴此时交点坐标为（2,1） ∴D点坐标为(2,1)

3．如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB． （1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△ QMB与△ PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△ RPM与△ RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】第一问考察抛物线表达式求解；

第二问考察三角形面积相等，所以又是一条线的事儿。只需找到平行于底边并且过点P的直线以及这条直线关于底边对称的另一条直线就成。 第三问依然考察同学们对三角形面积相等的理解。

解：(1) 设过点A（-1，0），B（3，0）的抛物线表达式为y?a(x?1)(x?3) 又∵抛物线过C（0，3）

2

∴代入抛物线表达式得a??1 ∴抛物线表达式为y??x2?2x?3

(2) ∵，底取公共边MB

∴待求点Q到MB的距离等于P到MB的距离即可

又∵B（3，0），C（0，3）

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∴过BC的直线表达式为lBC:y??x?3

又∵点P是对称轴与抛物线的交点，

∴P（1,4）

∴过点P且平行于BC的直线方程为y??x?5

?y??x2?2x?3联立? 化简得，x1?1，x2?2

y??x?5?∴(1,4)， (2,3)

另一条符合题意的直线为y??x?1

?y??x2?2x?3联立? 化简得，x1??1，x2?3

?y??x?1∴(，)， (，)

(3)由已知可得，M点坐标为直线BC与对称轴的交点 联立??x?1

y??x?3?N R

∴M（1，2） 又∵，底取公共边RM

∴问题等价为点P到RM的距离等于点B到RM的距离。 取PB中点为N，∵P（1,4），B（3,0） ∴N（2,2）

过点M和点N的直线方程为：lMN:y?2

?y??x2?2x?3联立? 化简得，x1?1?2，x2?1?2（舍）

?y?2∴R为（1+，2）

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