专升本数学 - 第1章 - 函数与极限 - 计算题 - 204 - 答

高等数学

一、 计算题（共 200 小题，100 分） 1、

f(x)?sinx?sin5x?2sin3x　　?2sin3xcos2x?2sin3x 　　??2sin3x(1?cos2x) ??4sin2x?sin3x

而limf(x)?4sin2x?sin3xx?0x3?limx?0x3??12 所以取A??12，n?3，即g(x)??12x3 则当x?0时，f(x)~g(x)

x)?ln(1?x2)?ln(1?x22、f(2

1?x ?12ln1(?x2)?ln1(?x2)?x2 1x2而limf(x)2)ln(1?1?x2)x?0x2?limln(1?x2x2?limx?0x2

x?0?132?1?2

所以取A?32，n?2，即g(x)?322x

则当x?0时，f(x)~g(x) 113?x)?3??1?(x?3)?23、原式?lim??1?2(x?3x?3 3 ?lim1?(x?3)?1(3?x)?1 x?3x?3?lim1?2x?3x?31(x?3)1?2(3?x) ?lim2x?3x?3?lim3x?3x?3

4分

7分

10分

3分

8分

10分

5分

8分

?12 2?31 ??614、原式?limn?axx?0x ?an

1135、原式?lim(1?4x)2?1(1?6x)?1 x?0x?limx?0x1?(?4x)1?6x ?lim2x?0x?lim3x?0x

?(?2)?2??4

6、原式?lim1?5x?13x?1 x?0x2?2x?lim1?x?0x2?2x1?5x1?(?3x) ?lim2x?0(x?2)?lim2x2) x?0x(x?53?lim2x?0x?2?lim2x?0x?2 ?534?4 ?27、

证??arctan(1?x)，??arctan(1?x)则当x?0时，?

???0　且(???)?arctantan??tan?(1?x)?(1?x)1?tan?tan??arctan1?(1?x)(1?x)arctan(1?x)?arctan(1?x)~(1?x)?(1?x)1?(1?x)(1?x)

因此，原式?lim(1?x)?(1?x)x?0x?1?(1?x)(1?x)? 10分

7分 10分

5分

8分 10分

5分

8分

10分

3分

7分

?lim2xx?0x(1?1?x2) ?lim22?x2 x?0?1n28、原式?lim2?n??(1?tann)2

1tan2?n2?? ?lim2?tan2??n(?22n) n??(1?tann)?2 ?e2

9x1、limn?1?liman??(n?1)!nnn??xn??(n?1)n?1?nan?n! ?lima n??(1?1n)n?ae

xm?1?xn?110、原式?limx?1x?1x?1xm?1x1 n?x?1?x?1 ?m?nm?n

11、原式?1x?x?xxlim???x?1?x

?0?1?0

lnx6?ln(1?53?712、原式?limxx6)x??lnx2?ln(1?34x?x2)10分

4分

7分

10分

4分

7分

10分

7分

10分

8分 10分

8分

ln(1?5x3?7x6)3? ?lnx2?lim

x?ln(1?3?421?xx)lnx2 ?3

lne2x(3?2e2x)13、原式?

xlim???lne3x(2?3e3x) ?lim2x?ln(3?2e?2x)3x?ln(2?3e?3x x???)2?1?2x ?xln(3?2e) xlim1

???3??3xxln(2?3e) ?23

证s11n?(n?1)2?(n?2)2???1(2n)214、　s1?111n?n2n2???n2?n

　s111n?(2n)2?(2n)2???(2n)2?14n即有114n?sn?n 而lim1n??4n?0，lim1n??n?0因此lim?n???1?1?1??(n?1)2(n?2)2??(2n)2??　?03230?nsinn!n?1?n2?1315、

n?1n 即?1323n?nsinn!1n?1?3n而lim(1)n???3n?0，lim1n??3n?0

10分

5分

8分

10分

6分

10分

7分

32因此limnsinn!n??n?1?0

证s?1?1???1nn2?1n2?2n2?n16、有s111n?n?n?n???1n?1

又有s1?1nn????1n2??nn2?nn2?nn2?n即：nn2?s?nn?1

而limnn???1，limn2?nn??1?1所以lim111

n??sn?limn??(n2??1n2???)?2n2?n ?1 17、因为0?2nn!?21?22?2n?4n 而lim4n??n?0所以lim2n

n??n!?018、原式?limtanx(tanx?3)(tanx?3)x??sin(? 33?x) ?limtanx(tanx?3)?limtanx?3

x??3x??3sin(?3?x)sin(x??3) ?6limx??? 3cosx?cos?3?sin(3?x) ?6?(?1)11

2?2 ??24

10分

6分

10分

6分

10分

4分

8分

10分

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