第2讲 矩阵与变换
分层训练A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
32
1．(2009·江苏卷)求矩阵A＝? ?的逆矩阵．
?21?
xy解 设矩阵A的逆矩阵为?z w?，
??
32xy10则?2 1? ?z w?＝?0 1?， ??????
?3x＋2z 3y＋2w??1 即??＝??2x＋z 2y＋w??0
3x＋2z＝1，??2x＋z＝0，故?3y＋2w＝0，??2y＋w＝1，
0?1?
?.
x＝－1，
??y＝2，解得?z＝2，
??w＝－3.
－12－1
从而A的逆矩阵为A＝?2 －3?.
??
2022
2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x＋y＝1在矩阵A＝? ?对应的
?01?变换作用下得到曲线F，求F的方程．
解 设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，
y′0)则有
?x′0＝2x0?x′0?＝?2 0? ?x0?，即???y′0??01??y0??y′0＝y0?
2
2
x′0??x0＝，2∴???y0＝y′0.
′2
′2
又∵点P在椭圆上，故4x0＋y0＝1，从而x0＋y0＝1. ∴曲线F的方程是x＋y＝1.
1ac220
3．已知矩阵M＝? ?，N＝? ?，且MN＝? ?.
?b1??0d??－20?(1)求实数a、b、c、d的值；
(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．
2
2
1
c＋0＝2，??2＋ad＝0，
解 (1)由题设得：?bc＋0＝－2，
??2b＋d＝0.
a＝－1，
??b＝－1，解得?c＝2，
??d＝2.
(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)， ∴可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)， 1－1001－11－2
由?－1 1? ?0?＝?0?，?－1 1? ?3?＝?2?， ????????????
得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)． 从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.
cos α－sin α
4．(2012·苏北四市调研一)若点A(2,2)在矩阵M＝?sin α cos α?对应变换的作用下
??得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵． 2－2
解 由题意，知M??＝??，
?2??2?2cos α－2sin α－2即?2sin α＋2cos α?＝?2?， ????
??cos α－sin α＝－1，∴?
?sin α＋cos α＝1，?
??cos α＝0，
解得?
?sin α＝1.?
0－1
∴M＝?1 0?.
??
1001－1－1
由MM＝?0 1?，解得M＝?－1 0?.
????5．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A＝?
?a
?c
b?d?
?，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向
? 1??3?
量为a1＝??，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝??，求矩阵A.
?－1??2?
解 由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1， 即?
?a ?c
b?? 1?
?a－b＝－1，?? 1?
?＝－1×，得?????
?d??－1??－1??c－d＝1.
?3a＋2b＝12，?
同理可得?
??3c＋2d＝8.
解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.
因此矩阵A＝?
?2
?2
3?1?
?.
3－1
6．(2012·扬州调研)已知矩阵M＝?－1 3?，求M的特征值及属于各特征值的一个特征
??向量．
2
λ－31解 由矩阵M的特征多项式f(λ)＝?
?1
λ－3?
?＝ (λ－3)2
－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．
设矩阵M的特征向量为??x?
?y??
，
当λM??x??y??＝2??x?
??－x＋y＝0，1＝2时，由?y??，可得?
??
x－y＝0.
可令x＝1，得y＝1，
∴α?1?
1＝??1??
是M的属于λ1＝2的特征向量．
当λ＝4时，由M??x???x＋y＝0，?y??＝4??x?
2?y??，可得?
?x＋y＝0，
?
取x＝1，得y＝－1，
∴α? 1?
2＝??－1??
是M的属于λ2＝4的特征向量．
分层训练B级 创新能力提升
1．(2013·南京模拟)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝?? 1 1?
?－1 1??
对应的变换作用下得到的曲线C1的方程． 解 设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，
它在矩阵M＝??
1
1??－1 1?
?对应的变换作用下得到点Q(x，y)
由?? 1 1??x0??x???x0＋y0＝x?－1
1?? ??y?＝??，得?
，
0??y???
－x0＋y0＝y.
??x0
＝x－y2，解得?
??y0
＝x＋y2.
因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1. 所以
x－y×x＋y222
＝1，即x－y2
＝4.
所以所求曲线C2
2
1的方程为x－y＝4.
2．已知矩阵A＝??
1
0?
2??，B＝??0 －1?－1
?0 ?1 0??
，求(AB). 3
?1
解 AB＝?
?0
设(AB)＝?
－1
0??0 －1??0 －1?? ??＝??. 2??1 0??2 0?
?a ?c
b?d?
?，
0?1?
?1
则由(AB)·(AB)＝?
?0
－1
?，
0?1?
?0 －1??a 得?? ??2 0??c b??1 ?＝?d??0 ?－c －d??1 ?，即??＝?1??2a 2b??0
0?
?，
??－d＝0，
所以?2a＝0，
??2b＝1，
－c＝1，
2
??b＝1，
2解得?c＝－1，??d＝0.
0?
a＝0，
－1
?0 1?
－12?. 故(AB)＝?
??－1 0??
?a
3．(2011·福建卷)设矩阵M＝?
?0
b?
?(其中a>0，b>0)．
(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M；
(2)若曲线C：x＋y＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y＝1，求
4
2
x2
2
a、b的值．
解 (1)设矩阵M的逆矩阵M＝?
－1
?x1 y1?
?， ?x2 y2?
?1
则MM＝?
?0
－1
0?1?
?.
0??x1 y1??1 ? ??＝?3??x2 y2??0
0?1?
?2 又M＝?
?0
0?
?2 ?.∴?3??0
?.
∴2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 11
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
23
0??1
2??. ＝
?0 1??3?故所求的逆矩阵M－1
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，
?a y′)，则?
?0
∴
?0??x??x′??ax＝x′，
? ??＝??，即?
?by＝y′，b??y??y′??
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，
x′2
4
＋y′＝1.则2
a2x2
4
＋by＝1为曲线C的方程．
4
22
??a＝4，22
又已知曲线C的方程为x＋y＝1，故?2
?b＝1.???a＝2，
又a>0，b>0，∴?
?b＝1.?
2
?2
4．(2012·南通调研)已知矩阵M＝?
?2
得到点P′(－4,0)，求： (1)实数a的值；
a?
1?
?，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下
(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由?
?2 a?? 1??－4?
? ??＝??， ?2 1??－2?? 0?
3?1?
所以2－2a＝－4.所以a＝3.
?2
(2)由(1)知M＝?
?2
f(λ)＝?
?，则矩阵M的特征多项式为
?λ－2 －3?2
?＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ－3λ－4.
?－2 λ－1?
令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.
??λ－
当λ＝－1时，?
?－2x＋?
x－3y＝0，
λ－
y＝0
?x＋y＝0.
? 1?
所以矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为??.
?－1?
??λ－
当λ＝4时，?
??－2x＋
x－3y＝0，
λ－
y＝0
?2x－3y＝0.
?3?
所以矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为??.
?2?
?1?
5．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M对应的变换
?1?
将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M；
(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程． 解 (1)设M＝?
??a＋b＝8，故?
?c＋d＝8.?
?a
?c
b?d?
?，则?
?a ?c
b??1?
?1??8? ＝8?????＝??， d??1??1??8?
?a 因??c ?b??－1??－2??－a＋2b＝－2，
? ??＝??，故?
?－c＋2d＝4.d?? 2?? 4??
5
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