高中数学学案
四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：
对于任意的数列?an?恒有：
（1）an?a1??a2?a1???a3?a2???a4?a3??（2）an?a1?a2a3a4???a1a2a3???an?an?1?
an,?an?0,n?N?? an?13、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知Sn（即a1?a2??an?f(n)）求an，用作差法：an??S1,(n?1)
Sn?Sn?1,(n?2)类型二（累加法）：已知：数列?an?的首项a1,且an?1?an?f?n?,?n?N??，求通项an. 给递推公式an?1?an?f?n?,?n?N??中的n依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：
a2?a1?f?1?,a3?a2?f?2?,a4?a3?f?3?,,an?an?1?f?n?1?. 利用公式an?a1??a2?a1???a3?a2???a4?a3????an?an?1?可得：
an?a1?f?1??f?2??f?3???f?n?1?.
an?1?f?n?,?n?N??，求通项an. an类型三（累乘法）：已知：数列?an?的首项a1,且
给递推公式
an?1?f?n?,?n?N??中的n一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ana2aa?f?1?,3?f?2?,4?f?3?,a1a2a3,an?f?n?1?. an?1利用公式an?a1?a2a3a4???a1a2a3?an,?an?0,n?N??可得： an?1an?a1?f?1??f?2??f?3???f?n?1?.
类型四（构造法）：形如an?1?pan?q、an?1?pan?qn（k,b,p,q为常数）的递推数列都可以
第 11 页 共 24 页
高中数学学案
用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。
①an?1?pan?q解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?用换元法转化为等比数列求解。
②an?1?pan?qn解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1anp1???b?b?b?引入辅助数列（其中），得：??bnn?1nnqn?1qqnqqnqqq，再利1?p再应用an?1?pan?q的方法解决。
类型五（倒数法）：已知：数列?an?的首项a1,且an?1?pan,?r?0,n?N??，求通项an. qan?ran?1?pan1qa?r1rq1r1q??n???????
qan?ran?1panan?1panpan?1panp11rq,则bn?1?.?bn?1??bn?， anan?1pp设bn?若r?p,则bn?1?bn?qqq?bn?1?bn=，即数列?bn?是以为公差的等差数列.
ppp若r?p,则bn?1?rqbn?（转换成类型四①）. pp五、数列常用求和方法
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n项和公式
Sn?n(a1?an)n(n?1)d?na1? 222、等比数列的前n项和公式
?na1(q?1)?Sn??a1(1?qn)a1?anq
?(q?1)?1?q1?q?3、常用几个数列的求和公式 （1）、Sn??k?1?2?3???n?k?1n1n(n?1) 2第 12 页 共 24 页
高中数学学案
（2）、Sn??k2?12?22?32???n2?k?1nn1n(n?1)(2n?1) 61（3）、Sn??k3?13?23?33???n3?[n(n?1)]2
2k?1第二类：乘公比错项相减（等差?等比）
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
a{an?bn}或{n}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
bn 例：求数列{nqn?1}(q为常数)的前n项和。 解：Ⅰ、若q=0， 则Sn=0
Ⅱ、若q=1，则Sn?1?2?3???n? Ⅲ、若q≠0且q≠1，
则Sn?1?2q?3q2???nqn?1 ①
qSn?q?2q2?3q3???nqn ②
1n(n?1) 2 ①式—②式：(1?q)Sn?1?q?q2?q3???qn?1?nqn
?Sn?1(1?q?q2?q3???qn?1?nqn) 1?q11?qn(?nqn) ?Sn?1?q1?q1?qnnqn ??Sn?21?q(1?q)??0(q?0)??1综上所述：Sn??n(n?1)(q?1)
?2?1?qnnqn?(q?0且q?1)?21?q(1?q)?第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如：
第 13 页 共 24 页
高中数学学案
（1）、an?111??
n(n?1)nn?1(2n)2111?1?(?) （2）、an?(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（3）、an?1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111?n??n??,则S?1? nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n（4）、an?2、根式形式，如：an?1n?1?n?n?1?n
例：求数列
1111，，，…，，…的前n项和Sn
n(n?2)1?32?43?51111=(?）
n(n?2)2nn?2解：由于：
则：Sn?1?11111?(1?)?(?)?????(?)? ?2?324nn?2?1111(1???) 22n?1n?2311 ?? Sn??42n?22n?4第四类：倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
? Sn?再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an)。
例：若函数f(x)对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?2。
12n?1（1）an?f(0)?f()?f()???f(数列{an}是等差数列吗？是证明你的)?f(1)，
nnn结论；
（2）求数列{1}的的前n项和Tn。
an?an?112n?1)?f(1)（倒序相加） 解：（1）、an?f(0)?f()?f()???f(nnnn?1n?21)?f()???f()?f(0) ?an?f(1)?f(nnn1n?12n?21?0???????1
nnnn第 14 页 共 24 页
高中数学学案
则，由条件：对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?2。
2n?1） ?2an?2?2?2???2?（?an?n?1?an?1?n?2 ?an?1?an?1
从而：数列{an}是a1?2,d?1的等差数列。 （2）、
1111???
an?an?1(n?1)(n?2)n?1n?2?Tn=
1111????? 2?33?44?5（n?1）?(n?2)11111111n ?????Tn=??????2334n?1n?22n?22n?4n故：Tn=
2n?4第五类：分组求和法（等差+等比）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例：求数列{
1+n?2n?1}的前n项和Sn
n(n?1)解：令an? 1 bn?n?2n?1
n(n?1)Sn?(a1?b1)?(a2?b2)?(a3?b3)???(an?bn)
?Sn?(a1?a2?a3???an)?(b1?b2?b3???bn)
111111???????)?(1?2?2?3?22???n?2n?1) 2233nn?11)?(1?2?2?3?22???n?2n?1) ?Sn?(1?n?1?Sn?(1?令Tn?1?2?2?3?22???n?2n?1 ①
2Tn?2?2?22?3?23???n?2n ②
①式—②式：(1?2)Tn?1?2?22?23???2n?1?n?2n
?Tn??(1?2?22?23???2n?1?n?2n)
第 15 页 共 24 页
高中数学学案
1?2n?n?2n) ?Tn??(1?2?Tn?(n?1)?2n?1
11)?(n?1)?2n?1?2??(n?1)?2n n?1n?1第六类：拆项求和法
在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。
故：Sn?(1?例：求数列9，99，999，… 的前n项和Sn
分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式an?10n?1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解：由于：an?10n?1 则：Sn?9?99?99??
?Sn?(101?1)?(102?1)?(103?1)???(10n?1) ?Sn?(101?102?103???10n)?(1?1?1???1)
10?10n?10?n ?Sn?1?1010n?1?10?n ?Sn?91111例8：Sn=1?2?3?????nn
248211解：由于：an?nn?n?n
221111则：Sn=(1?2?3???n)?(???????n)（等差+等比，利用公式求和）
248211(1?()n)12=n(n?1)?2
121?211=n(n?1)?1?()n 22
第 16 页 共 24 页
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学必修5知识点总结归纳（人教版最全）(3)在线全文阅读。
相关推荐：