排列组合概率

1。排列组合：

可“区分”的叫做排列abc P33

不可“区分”的叫做组合aaa C33

用下列步骤来作一切的排列组合题：

（1）先考虑是否要分情况考虑

（2）先计算有限制或数目多的字母，再计算无限制，数目少的字母

（3）在计算中永远先考虑组合：先分配，再如何排（先取再排）

例子：

8封相同的信，扔进4个不同的邮筒，要求每个邮筒至少有一封信，问有多少种扔法？

第一步：需要分类考虑（5个情况）既然信是一样的，邮筒不一样，则只考虑4个不同邮筒会出现信的可能性。

第二步：计算数目多或者限制多的字母，由于信一样就不考虑信而考虑邮筒，从下面的几个情况几列式看出每次都从限制多的条件开始作。先选择，再考虑排列。

5个情况如下：

a. 5 1 1 1：4个邮筒中取一个邮筒放5封信其余的3个各放一个的分法：C(4,1)=4

b.4 2 1 1：同上，一个邮筒4封信，其余三个中间一个有两封，两个有一封：C(4,1) * C(3,1)=12

c. 3 3 1 1: C(4,2) =6

d. 3 2 2 1: C(4,1) * C(3,2) = 12

e. 2 2 2 2 :1

4＋12＋6＋12＋1＝35种放法

[原创]如何解决排列后的组合问题(大家讨论哦)

很多CDer问的排列组合的问题中最多的是关于排列后的组合问题，这种题目确实很头疼，且考场上时间紧迫，头脑紧张，更没有时间考虑这些问题，所以出错多在此处。

根据我的经验：

如果排列后重新组合一般是两种排列的组合，这时可以看排列中和组合中的两组事务的性质，如果有一方是同质的或者是随机的，则不用重新组合；需要组合的情况只在两者都是异质或者非随机的时候。

例题1：从10个人中取出2个人住进2个屋子，有多少种住法？ 解答：C10,2,不用排列

可以这样考虑，取出2个人是随机的，房子没有说有区别，两个随机，所以不用排列 其实两个中有一个是随机的，就不用考虑排列了 两个都是有顺序或者编号的才用考虑排列 （这个答案可能不对）

例题2：从10个人中取出2个人住进A、B，2个屋子，有多少种住法？ 解答：C10,2,不用排列

这样考虑，从10个中取2个出来，是C10，2，这两个是同质的，没有区别，取哪个放在A中还是B中是没有区别的，所以不用排列。

例题3：从编号1－10的人中取出2个人住进A、B，2个屋子，有多少种住法？ 解答：P2，2×C10，2这时需要排列了

例题4：从10个小球中1取出2个放在A，B两个盒子里，有多少种放法？ 答案：C10，2 小球同质

例题5：从编号1－10的小球中取出2个放在2个盒子里，有多少种放法？ 答案：C10，2 盒子同质

2。概率

加法原则和乘法原则：问自己这个事儿完成了没有？如果完成了就是加法原则，没有完成就是乘法原则。

例子：从北京到上海可以乘飞机（3种方案），轮船（2种方案），或者火车（5种方案），问从北京到上海乘这3种交通工具共几种方案？答：既然任何一个方案都已经到达了上海，这件事儿已经完成了，所以用加法原则：3＋2＋5＝10种

例子：从北京到上海有2条路线，从上海到深圳有5条路线，问从北京出发经由上海到深圳会有多少种路线？答：当你到达上海时还没有到达深圳呢，没有完成，那就乘起来，用乘法原则：2×5＝10 3。数论

考试时可以运用歌德巴赫猜想：任何一个大于等于4的偶数都能表达成两个质数和的形式。

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求最大公约数的方法：辗转相除法

辗转相除法就是当你求AB两个数的最大公约数时你先用大数去被小数除，除完得到一个余数，下一步，你用上一步中那个较小的数去被上一步中的余数除，再得到余数，再继续重复这个步骤直到你用一个除数被余数除时余数为0，在最后这一步中的除数就是AB的最大公约数。我会用一个图来表示这个步骤的。大家看图一。

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AB两数的最大公约数×AB两数的最小公倍数＝A×B

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整除，余数，因子数的概念：

如何求一个数共有多少个不同的factor（因子）？

将这个数写成它质因子幂指数相乘的形式，然后将每一个质因子的幂加一，然后彼此相乘，就得到了这个数包括1和它本身在内的所有因子个数：

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任一个自然数n,它的因子个数如果是偶数的话，那么它的因子个数中有一半儿因子小于根号下的n，有一半儿大于根号下的n。

如果一个自然数m它的因子个数是奇数的话，它就必然是一个完全平方数，且根号下m就是它的一个因子。当你得到m的因子数后，若是a个的话，它所有的因子必然有(a-1)/2个是小于根号下m，有（a-1)/2个大于根号下m。 4。整除和余数的一些概念

被2，4，8整除的特点：

譬如说一个数3472，要知道被2整除余几，就看最后一位2除以2，余几原数3472被2除就余几，能整除则原数也能整除；被4除时，要看后两位72被4除余几，原数被4除就余

几，能整除则原数也能整除；被8除时，要看最后3位472被8除余几，原数被8除就余几，能整除则原数也能被8整除

被3，9整除的特点：

还是举一个例子，3472，把这个数每一位都加起来：3＋4＋7＋2＝16，1＋6＝7，加完以后得的数除以3余几，原数除以3就余几，如果能整除则原数也能被3整除；加完后的数被9除余几，原数被9除就余几。

被6除时：

分别考虑被2，和被3除时的情况

被5除时：

一个数最后一位除以5余几，原数被5除就余几

被11除时：

错位相加再相减。譬如说3472错位相加再相减的过程就是（3＋7＋1）－（4＋2）＝5

最后一位数5去除以11，能整除则原数3472就可以被整除，如果不能整除则原数不能被11整除。

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如何凑数？

例子：一个数n被3除余1，被4除余2，被5除余1，问被60除余几？

凑数的原则：（1）从最小数开始；（2）凑后边时要保证前面已经满足的不变化。

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