立体几何与空间向量

1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基

??????底，用{,（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，ij,k}表示；???O以点为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、

它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O?xyz，点Oz轴，

zA(x,y,z)kixOjy???叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平

面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；

2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序

??????实数组(x,y,z)，使OA?xi?yjz?k，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

??3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，

?????则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，????a?b?a1b1?a2b2?a3b3， a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， ??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0．

????（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ????2224 模长公式：若a?(a1,a2,a3)， 则|a|?a?a?a1?a2?a3．

????a1b1?a2b2?a3b3a?b??5．夹角公式：cosa?b??．

222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3????????26．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 7．直线和平面所成角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角直线和平面所成角范围： ?0，

?? 2PaA?1??2lBOO'（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 8．公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角，且a与?相交成?1

角，a在?上的射影c与b相交成?2角，则有cos?1cos?2?cos? ?ObBB'c?AA'?9 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角

的面若棱为l，两个面分别为?,?的二面角记为??l?? 10．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB，则?AOB叫做二面角??l??的平面角（2）一个平面垂直于二面角??l??的棱l，且与两半平

面交线分别为OA,OB,O为垂足，则?AOB也是??l??的平面角（1）二面角的平面角范围是

（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 [0?,180?]；

11 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 12．面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 13．面面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 练习：

????????1?设a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，且a?b，记|a?b|?m，求a?b与x轴正方向的夹角的

余弦值 2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿ 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，

C⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；

H⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标 ?????ADB4．直角?ABC的斜边AB在平面?内，AC,BC与?所成角分别为30,45，CD是斜边AB上的

?高线，求CD与平面?所成角的正弦值 D'B'OC'5．如果二面角??l??的平面角是锐角，点P到?,?,l的距离分别为

A'22,4,42，求二面角的大小 DEABC6．如图，正方体的棱长为1，B?C?BC'?O，求：（1）AO与A?C?所成角； （2）AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB与平面AOC所成角 7?已知正方体AC1的棱长为a，E是CC1的中点，O是对角线BD1的中点，

（1）求证：OE是异面直线CC1和BD1的公垂线；（2）求异面直线CC1和BD1的距离

参考答案：

??????1?设a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，且a?b，记|a?b|?m，

??求a?b与x轴正方向的夹角的余弦值 ?解：取x轴正方向的任一向量c?(x,0,0)，设所求夹角为?，

???∵(a?b)?c?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?(x,0,0)?(a1?b1)x ???(a?b)?c(a?b)xa?b∴cos??????11?11，即为所求 mxm|a?b|?|c|2． 在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿ 解： ?BA?(?2,?4,0),BC?(?1,3,0),

????????????????????????BA?BC2?122???????cosBA,BC??????

2|BA||BC|25?10∴∠ABC＝45° 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标 ???分析：⑴?AB?(?2,?1,3),AC?(1,?3,2),?cos?BAC?AB?AC|AB||AC|?1 2∴∠BAC＝60°，?S?|AB||AC|sin60??73 ⑵设a＝(x,y,z)，则a?AB??2x?y?3z?0,

?a?AC?x?3y?2z?0,|a|?3?x2?y2?z2?3

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).

4．直角?ABC的斜边AB在平面?内，AC,BC与?所成角分别为30,45，CD是斜边AB上的

????高线，求CD与平面?所成角的正弦值 解：过点C作CH??于点H，连接AH,BH,OH，

则?CAH?30，?CBH?45，?CDH为所求CD与?所成角，记为?，

??令CH?a，则AC?2a,BC?2a，

C则在Rt?ABC中，有CD?AC?BC23?a AB3ADH?B在Rt?CDH中，sin??CH3 ?CD23. 2∴CD与平面?所成角的正弦值

5．如果二面角??l??的平面角是锐角，点P到?,?,l的距离分别为22,4,42，求二面角的大小 ?PBA分析：点P可能在二面角??l??内部，也可能C在外部，应区别处理 ?l解：如图1是点P在二面角??l??的内部时，图2是点P在二面角??l??外部时， ∵PA?? ∴PA?l ∵AC?l ∴面PAC?l 同理，面PBC?l

而面PAC?面PBC?PC ∴面PAC与面PBC应重合 即A,C,P,B在同一平面内，

图1P?ABC则?ACB是二面角??l??的平面角

?l图2在Rt?APC中，sin?ACP??PA221?? PB422∴?ACP?30

在Rt?BPC中，sin?BCP????PB42? ∴?BCP?45 ??PC422???故?ACB?30?45?75（图1）或?ACB?45?30?15（图2） 即二面角??l??的大小为75或15 ??说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角 6．如图，正方体的棱长为1，B?C?BC'?O，求：

（1）AO与A?C?所成角；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值； （3）平面AOB与平面AOC所成角 解：（1）∵A?C?//AC ∴AO与A?C?所成角就是?OAC

D'B'ODEABC'A'∵OC?OB,AB?平面BC? ∴OC?OA（三垂线定理）

C在Rt?AOC中， OC?2,AC?2 ∴?OAC?30? 2（2）作OE?BC，平面BC??平面ABCD

∴OE?平面ABCD，?OAE为OA与平面ABCD所成角 在Rt?OAE中，OE?115OE5 ∴tan?OAE? ?,AE?12?()2?AE5222（3）∵OC?OA,OC?OB ∴OC?平面AOB 又∵OC?平面AOC ∴平面AOB?平面AOC 即平面AOB与平面AOC所成角为90 ?7?已知正方体AC1的棱长为a，E是CC1的中点，O是对角线BD1的中点，

（1）求证：OE是异面直线CC1和BD1的公垂线；（2）求异面直线CC1和BD1的距离 解：（1）解法一：延长EO交A1A于F，则F为A1A的中点，∴EF//AC， ∵CC1?AC，

∴C1C?EF，连结D1E,BE，则D1E?BE， 又O是BD1的中点，∴OE?BD1，

AA1ODBCD1B1C1E∴OE是异面直线CC1和BD1的公垂线 12（2）由（1）知，OE?AC?a．

22解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略） D1A1DAOBB1C1C引申：求B1C与BD间的距离 解法一：（转化为B1C到过BD且与B1C平行的平面的距离） 连结A1D，则A1D//B1C，∴B1C//平面A1DB，连AC1，可证得

AC1?BD，AC1?AD，∴AC1?平面A1DB，

∴平面AC1?平面A1DB，且两平面的交线为AO过C作CE?AO，垂足为E，则CE即为B1C1，1与平面A1DB的距离，也即B1C与BD间的距离，

在?AOC中，1113OC?A1A?CE?AO，∴CE?a． 1223（解法二）：坐标法：

以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)，B1(a,a,a),A1(a,0,a),D(0,0,0)， 由（解法一）求点C到平面A1DB的距离CE，设E(x,y,z)， ∵E在平面A1DB上，

??????????????∴A1E??A1D??A1B，即(x?a,y,z?a)??(?a,0,?a)??(0,a,a)，

?x?a??a?∴?y??a， ?z?a??a??a???????????????????(x,y?2,z)(?a,0,?a)?0∵CE?A， 1D,CE?BD，∴?(x,y?2,z)(?a,?a,0)?0?????12113解得：????，∴CE?(a,?a,?a)，∴CE?a．

33333解法三：直接求B1C与BD间的距离 设B1C与BD的公垂线为OO1，且O1?B1C,O?BD，

????????设O(x,y,z)，设DO??BD，

?x???a?则(x,y,z)??(?a,?a,0)，∴?y???a，∴O(??a,??a,0)，

?z?0?同理O1(?a,a,?a)，

????????????????????????∴OO1?((???)a,a??a,?a)，∴OO1?BD,OO1?BC1， ???????????????????∴OO1?BD?0,OO1?BC?0， 1??????21????1113a． 解得：???,??，OO1?(?a,a,a)，|OO1|?333333

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