一元二次方程经典题型汇总
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
一．填空题：
1．关于x的方程mx2-3x= x2-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.
3．关于x的一元二次方程(m+3) x2+4x+ m2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是_____
5、当m 时，方程m2?1x2?mx?5?0不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。 二．选择题：
6．在下列各式中 ①x2+3=x; ②2 x2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x2- 4x – 5 ; ④x2=-
1+2 x??是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7、下列方程中，一元二次方程是（ ）
1（A） x2?2（B） ax2?bx（C） ?x?1??x?2??1（D） 3x2?2xy?5y2?0
x8．一元二次方程的一般形式是( )
A x2+bx+c=0 B a x2+c=0 (a≠0 ) C a x2+bx+c=0 D a x2+bx+c=0 (a≠0)
9．方程6 x2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0
a?1?x2?x?a2?1?0?x10、关于的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ）
1A、1 B、?1 C、1或?1 D、2
三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 x(3x + 2)=6(3x + 2) (3 – t)+ t=9
22一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?a)2?b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?a是b的平方根，当b?0时，
x?a??b，x??a?b，当b<0时，方程没有实数根。
练习：
用直接开平方法解下列一元二次方程
1、4x?1?0 2、(x?3)2?2 3、?x?1??5 4、81?x?2??16
222
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有
x2?2bx?b2?(x?b)2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 练习：
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－ ）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－ ）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
2
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）=b的形式为_______，?所以方程的根为_________．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A．2±10 B．-2±14 C．-2+10 D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
10、用配方法解方程x?4x?2?0，下列配方正确的是（ ） A．(x?2)2?2
B．(x?2)2?2
C．(x?2)2??2
D．(x?2)2?6
2
11．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4）
12、用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
12
x-x-4=0 4?b?b2?4ac2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式：x?(b?4ac?0)
2a2公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
练习：用公式解法解下列方程。
1、x2?2x?8?0 2、4y?1?
4、2x2?5x?1?0 5、?4x2?8x??1 6、2x2?3x?2?0
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
32y 3、3y2?1?23y 2练习：用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x2?2x 2、(x?1)2?(2x?3)2?0 3、x2?6x?8?0
4、4(x?3)2?25(x?2)2 5、(1?2)x2?(1?2)x?0 6、(2?3x)?(3x?2)2?0
三、一元二次方程根的判别式 根的判别式
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根 练习：
一、选择题
1、一元二次方程x?2x?1?0的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根
Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
2.2 Ｄ．没有实数根
2、若关于x的一元二次方程x?2x?m?0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 4、已知函数y?ax2?bx?c的图象如图（7）所示，那么关于x的方程ax?bx?c?2?0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
2y x ?3 图（7）
2
5、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A）x＋4＝0 （B）4x－4x＋1＝0 （C）x＋x＋3＝0 （D）x＋2x－1＝0 6、下列方程中有实数根的是（ ）
（A）x2＋2x＋3＝0 （B）x2＋1＝0 （C）x2＋3x＋1＝0 （D）
2222
x1? x?1x?17、已知关于x 的一元二次方程x?m?2x 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0 8、如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）。
A、2 B、－2 C、4 D、－4 二、填空题
1、方程?x?1??4的解为 。
2
2、阅读材料：设一元二次方程ax?bx?c?0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
2bcx1?x2??，x1x2?．
aa根据该材料填空：已知x1，x2是方程x?6x?3?0的两实数根，则
2x2x1?的值为______ x1x23、关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝______；c＝______． 4、方程x?2x?0的解是 25、已知方程x?3x?k?0有两个相等的实数根，则k? 2 6、方程x2+2x=0的解为 9、已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的实数根，那么代数式
22x?35?(x?2?)的值为＿＿＿＿ 23x?6xx?210、已知x??1是关于x的方程2x?ax?a?0的一个根，则a?_______．
11、若关于x的一元二次方程x?2x?k?0没有实数根，则k的取值范围是 ． 12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
13、已知2?5是一元二次方程x?4x?c?0的一个根，则方程的另一个根是 ．
22
四、一元二次方程根与系数的关系
cb如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??，x1x2?。也就是说，对
aa于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、一元二次方程应用题
学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一
元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
1、增长率问题
恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
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