2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词

2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量

词领学案新人教A版选修

1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称学习 目标 命题的意义.(重点) 2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点) 学习 疑问 学习 建议 【预学能掌握的内容】阅读教材P21～P25内容，完成下列问题. 一、全称量词与全称命题 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“________”表示. 2.全称命题：含有________的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________. 练习1：判断下列全称命题的真假； （1）所有的素数是奇数； （2）?x?R，x?1?1； （3）对每一个无理数x，x也是无理数. 二、存在量词与特称命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示. 2.特称命题：含有____________的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“________________”. 练习2：判断下列特称命题的真假： (1)有一个实数x0，使x0＋2x0＋3＝0； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； 222(3)有些整数只有两个正因数. 阅读教材P24～P25例4以上部分，完成下列问题. 三、含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：________________； 特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p：________________. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 练习3：命题p：“存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是( ) A.存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根 B.不存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0无实根 C.对任意的实数m，方程x＋mx＋1＝0无实根 D.至多有一个实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实根 22222﹁﹁﹁ 【探究点一】全称命题和特称命题的概念及真假判断 〖典例解析〗 例1．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)?x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x0∈R，使1＝0； x0－1(3)对任意向量a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＞1. 〖课堂检测〗 1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x，使x≤0 1C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x，使>2 2x【课堂小结】 1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断. 2.全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题. 【探究点二】含有一个量词的命题的否定 〖典例解析〗 例2．写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：不论m取何实数，方程x＋x－m＝0必有实数根； (2)q: 存在一个实数x0，使得x0＋x0＋1≤0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等； (4)s：对任意角α，都有sinα＋cosα＝1. 〖课堂检测〗 2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( ) A.对任意实数x，都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D.存在实数x，使x≤1 【课堂小结】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法 1.确定类型：是特称命题还是全称命题. 2.改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词. 3.否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.,注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定. 【探究点三】全称命题与特称命题的应用 〖合作探究〗 已知关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围. 222222 〖典例解析〗 例3.命题p:?x?R,sinxcosx?m,若命题p是真命题,求实数m的取值范围. 〖课堂检测〗 3.命题p:?x?R,sinxcosx?m,若命题p是真命题,求实数m的取值范围. 【课堂小结】 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决. 2.特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设. 【层次一】 1．已知命题p:?x?R，2x?0，则 （ ） A.?p:?x?R，2x?0 B.?p:?x?R，2x?0 C.?p:?x?R，2x?0 D.?p:?x?R，2x?0 2．命题“?x?R，lgx?x?2”的否定是 ． 3.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 ( ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 4.命题p：?x0∈R，x0＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：________. 5.下列命题中是全称命题，且为假命题的是 ( ) A.存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 B.偶函数图象关于y轴对称 C.?m∈R，x＋mx＋1＝0无解 D.?x∈N，x＞x 【层次二】 26．若命题”?x0?R，使得x0?mx0?2m?3?0“为假命题，则实数m的取值范围是______． 322﹁2 7．已知三个命题如下： ①所有的素数都是奇数；②?x?R,(x?1)?1?1；③有的无理数的平方还是无理数． 则这三个命题中既是全称命题又是真命题的个数是 （ ） 2A．0 B．1 C．2 D．3 8．命题“?x?(1,2),x?mx?4?0”是假命题，则m的取值范围为_______ 【层次三】 9．命题\?x?R,f?x?g?x??0\的否定是 （ ） A．?x?R,f?x??0且g?x??0 B．?x?R,f?x??0或g?x??0 C．?x0?R,f?x0??0且g?x0??0 D．?x0?R,f?x0??0或g?x0??0 10.已知命题p：ax＋2x＋1＞0，若对?x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围. 11．已知命题p:?x??0,1?,a?e，命题q:?x?R,x2?x?a?0，若命题p?q是真命题，则实 x22数a的取值范围是__________．

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