华南理工大学偏微分及有限元分析大题

有限元分析方法的介绍及在工程上的应用

一 有限元法概述

有限元法最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力。它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种数值分析技术。由于这种方法灵活、迅速、有效，从而逐渐发展成为求解个领域数理方程的一种通用的近似计算方法。 在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界条件还是比较容易的，但是由于其几何形状、材料特性和外部载荷的不规则形，很难求得解析解。因此，寻求近似解救成了必由之路。经过多年的探索，常用的数值分析方法是差分法和有限元法。

差分法计算可给出模型基本方程的逐点近似值（差分网格上的点），但对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难以应用了。

有限元法把求解区域看作有许多小的在节点处互相连接的子域（单元）构成，其模型给出基本方程的大单元近似解。由于单元可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以他能很好的适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上有成熟的大型软件系统支持，它已成为一种非常受欢迎、应用极广的数值计算方法。

有限元法分析的概念可以追溯到20世纪40年代。到了70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来。到目前为止，有限元法已被应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等诸多领域；能进行由杆、梁、板、壳、块等各类单元构成的弹性、弹塑性或塑性问题的求解，包括精力和动力问题；能求解流体场、温度场、电磁场等场分布问题的稳态和瞬态问题；还能求解水流管路、电炉、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

二 有限元法常用术语

有限元法的基本思路是“化整为零，积零为整”。它的步骤是：将连续的结构离散成有限多个单元，并在每个单元中设定有多个节点，将连续体看作是指在节点处相连接的一组单元的集合体；然后选定场函数的节点之作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似的差值函数以表示单元中场函数的分布规律；进而利用力学中的变分原理建立用以求解节点未知量的有限元发方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解结束后，利用解的节点值和设定的差值函数确定单元上以及整个集合体上的场函数。

单元可以设计成不同的几何形状以模拟和逼近复杂的求解域。显然，如果差值函数满足一定要求，随着单元数目的增加，解的精度会不断提高而最终收敛于问题的精确解。从理论上说，无限制的增加单元的数目可以使数值分析界最终收敛于问题的精确解，但是这却增加了计算机计算所耗费的时间。在实际工程运用中，只要所得数据能够满足工程需要就足够了。有限元分析方法的基本策略就是在分析的精度和分析的时间上找到一个最佳平衡点。

有限元分析的几个要素

（1） 单元 结构的网格花粉中的每一个小的块体成为一个单元。常见

的单元类型有线段单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元

（2） （3） （4）

和六面体单元。

节点 取定单元形状的点就叫节点。

载荷 工程结构所受到的外在施加的力成为载荷，包括几种载荷和分布载荷。

边界条件 边界条件是指结构边界上所受到的外加约束。

三 有限元的分析过程

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研究分析求解对象的结构特点，包括形状、边界条件、工矿载荷特点。初步建立物理力学模型。

根据结构特点，确定单元类型，选取节点，形成网格图，选定制成及边界条件，决定载荷的处理，最终形成计算数据文件。 根据结构的计算模型，选择或者编制有限元软件。 为了检验计算模型的正确性，要进行试算。

试算顺利结束后，根据试算结果判别计算模型是否准确，通常是根据实验结果来判断。误差太大时要修改计算模型。

若结构的计算模型判别正确，就可施加工矿载荷进行正式计算。对计算结果进行整理，得到结构的应力图，变形图或振型图。 根据整理得到的计算结果，如应力图、变形图等，判断设计方案是否合理。

四 有限元软件

有限元方法的计算相当复杂，我们通常都是通过计算机来进行计算，于是就离不开有限元软件。有限元软件可分为三种：大型通用软件、专用软件、和自编特殊软件。

常用的有限元软件有ANSYS，SAP，MARC，ADINA等。

从有限元程序使用的角度讲，有限元分析又可分成三大步（1）前处理 （2）求解 （3）后处理。

前处理是对对象划分网格、形成计算模型的过程，包括单元类型的选择、节点和单元网格的确定、结束载荷的移置等。求解则是在形成总刚度方程并进行约束处理后求解大型连立现行方程组、最终得到节点位移的过程，解方程组的方法有很多种，通用软件根据自身特点选用一两种方法。后处理则是对计算结果的处理和数据的输出，包括各种应力、位移或振型的整理，形成等应力线、变形图、振型图等。

五 误差分析

结构有限元分析得到的是一种近似数值解，它与精确解或真实解之间必然存在误差。有限元分析误差，一般分为两类：计算误差和离散误差。这两种误差总是存在的。有限元计算要进行大量的数值运算，计算误差就不可避免；同时网格划分是不可能都去乘正三角形和正方形单元，离散误差也总是存在。计算误差主要由离散误差引起。

为减小误差，可以采取如下措施。

（1）在同一有限元计算模型中，尽量避免出现刚度过分悬殊的单元，包括港督很大的边界元、相邻单元大小相差很大等。

（2）采用较密的网格划分，且注意采用较好的单元形态。

六 在工程上的应用

我的课题题目就是轮毂轴承的有限元分析，主要是进行力矩刚性分析。目前仅仅是开了个头。根据课题的要求，我选择了ANSYS这个目前最常用的有限元分析软件，并和轴承厂的工程师一起做了一些初步的工作，获得了一些轮毂轴承的初步模型，并得到了一些分析结果，可看下图。

图一

图二

图三

作者 邓磊

小组成员 江伟雄，魏井君

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