数学实验报告：分形迭代
练习1
1.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。
2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。
3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。 4.实验步骤：
（1）Koch曲线
function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数 if (n==0) plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else
a=(2*p+q)/3; % 求出从 p 到 q 的 1/3 处端点 a b=(p+2*q)/3; % 求出从 p 到 q 的 2/3 处端点 b c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);%
koch(p, a, n-1); % 对 pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对 ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对 cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对 bq 线段做下一回合 end
（2）Sierpinski三角形
function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数 if (n==0) fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc hold on; axis equal else
a1=(b+c)/2; b1=(a+c)/2; c1=(a+b)/2;
sierpinski(a,b1,c1,n-1); sierpinski(a1,b,c1,n-1); sierpinski(a1,b1,c,n-1); end
（3）树木花草
function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数
plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal if(n>0)
a=(2*p+q)/3; b=(p+2*q)/3;
c=a+(b-a)*exp(pi*i/6);% d=b+(q-b)*exp(-pi*i/6);% grasstree(a,c,n-1); grasstree(b,d,n-1); end end
5.主要输出：
指令：koch(0,1,5); soerpinski(0,1,exp(pi*i/3),5);
grasstree(0,i,5);
Koch曲线
Sierpinski三角形
树木花草
6.实验结论：以上图案的局部形状与原本图形用某种自相似性，这正是分形的特点。 7.问题分析：一般迭代次数大于7，程序运行时间就很长，因此迭代次数建议设定为5。
练习2
1.实验目的：研究Koah雪花的特征。
2.实验内容：对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。 3.方法思路：采用Koch曲线的迭代元来绘制。 4.实验步骤：
function xuehua(n)
koch(0,0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,n); koch(0.5+(1/2)*sqrt(3)*i,1,n); koch(1,0,n); end
xuehua(1);xuehua(3) 5.主要输出：
不同n对应不同的图像如下：
n=1 n=3
6.实验结论：每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的1/3，数量为上一次的4
3232n1i?1S?r?r?[3?4?]倍。而设原三角形边长为r，Koch雪花的面积?2i443， i?1由此可以推出雪花曲线的边长是无限的，而面积是有限的。另外，从图像可以看出，随迭代
次数n趋于无穷，图形每一点都没有切线。 7.问题分析：由于没有找到matlab中相应的计算图形面积与周长的函数，所以这两项计算是由人工完成的。
练习3
1.实验目的：研究分形维数反映出来的分形的特性。
2.实验内容：利用分形维数公式d=log(n)/log(c)计算雪花曲线，Sierpinski三角形，Minkowski香肠的维数并与其图像显现出的性质进行比较。 3.方法思路：只需画出Minkowski香肠的图像，其他分形利用之前图像与维数进行比较即可。 4.实验步骤：
Minkowski香肠：
function Minkowski(p,q,n) if (n==0)
plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else
m=(q-p)/4;m1=real(m);m2=imag(m);
a=p+m; b=a+(-m2+m1*i);c=b+m;d0=c+(m2-m1*i); d=c+2*(m2-m1*i);e=d+m;f=e+(-m2+m1*i); Minkowski(p, a, n-1); Minkowski(a, b, n-1); Minkowski(b, c, n-1); Minkowski(c, d0, n-1); Minkowski(d0, d, n-1); Minkowski(d, e, n-1); Minkowski(e, f, n-1);
Minkowski(f, q, n-1);
5.实验输出：由分形维数公式log(n)/log(c)可计算的个图形的维数。
雪花曲线：log4/log3=1.26
Minkowski香肠：log n/logc=1.5 Sierpinski三角形：log3/log2=1.58
Minkowski香肠：
6.实验结论：可见雪花曲线，Sierpinski三角形，Minkowski香肠的维数都在1与2之间，它们的图像的面积都有极限，而图形边长无限长。维数越接近1，则图形有更多的曲线的性质，维数越接近2，则图形有更多的平面的性质，由此可推算Hilbert曲线的维数很接近2。 7.问题分析：迭代次数越大，则图像的说明效果越好，但程序的运行时间也越长，建议迭代次数不要超过7。
练习4
1.实验目的：探索Weierstrass函数图像的性质 2.实验内容：已知Weierstrass函数如下：
W?x?????s?2?ksin??kx?,??1,1?s?2,k?1?
对不同的s值，画出函数图像，观察图像的不规则性与s的关系，并猜测Weierstrass 函数图像的维数与s的关系 3.方法思路：由于Weierstrass函数表达式中为无穷项求和，Matlab中使用无穷项求和花费太 多时间，所以考虑取足够大的项数进行运算，通过变换s的值，画出不同的图像 进行比较，达到原来的实验目的。 4.实验步骤：
syms f x
f=0; y=10; s=1.4; %s=1.6; %s=1.8; for i=1:100
f=f+y^((s-2)*i)*sin(y^(i)*x); end
ezplot(f,[0,2])
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