2011年期末考试试卷(B)—弹性力学(2)

【解】（1）楔形体内任一点的应力分量决定于q、 ρ、?，?其中q的量纲为NL-2，与应力的量纲相同。 因此，各应力分量的表达式只可能取Kq的形式，而 K是以?，?表示的无量纲函数，亦即应力表达式中不 1??1?2?????2?2(?Acos2??Bsin2??C??D)，2???????2?????2(Acos2??Bsin2??C??D)，??2 (c)

???1??1?2??2??2Asin2??2Bcos2??C。????????能出现ρ，再由??2?????2知，应力函数?应是?的函

数乘以?2，可设

???2f(?) 将式（a）代入双调和方程

??2??21?1?2?????2??????2??2????0， 得 1?d4f(?)d2f(?)??2??d?4?4d????0， d4f(?)d2f(?)d?4?4d?=0， 上式的通解为

f(?)?Acos2??Bsin2??C??D， 将上式代入式（a），得应力函数为

???2(Acos2??Bsin2??C??D)。 (2)应力表达式为

a）

b）

(3)应力边界条件

(??)??0??q ，得2（A+D）=－q ; (??)????0,得Acos2?+B sin2?+C?+D=0, (???)??0?0,得－2B－C=0, (???)????0,2Asin2?－2Bcos2?－Ｃ=0 。 联立求解式(d)－(g)，得各系数

A??qtan?4(tan???)，B?q4(tan???)，

C??q2(tan???)，D??q(tan??2?)4(tan???)。

将系数代入(c)，得应力分量

?tan?(1?cos2?)?(2??sin2?)???q?2(tan???)，??tan?(1?cos2?)?(2??sin2?)???q2(tan???)q， ?(1?cos2?)?tan?sin2????2(tan???)q。

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(d) (e) (f)

(g)

h）（ （（

2.6 半平面体表面上受有均布水平力q，试用应力函数??求解应力分量，如下图所示。（10分）

【解】(1)相容条件：

?(Bsin2??C?)2将应力函数?代入相容方程?4??0，显然满足。

(2)由?求应力分量表达式

????2Bsin2??2C?,???2Bsin2??2C?, ?????2Bcos2??C（3）考虑边界条件：注意本题有两个?面，即???，分别为??面，在??面上，

2?应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有

????????2?0,得C?0

?????????2??q,得B??q 2将各系数代入应力分量表达式，得

???qsin2?,????qsin2?, ????qcos2?

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