近世代数期末考试题库(3)

7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ ）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ） ①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同；②A1,A2,?,An的次序不能调换； ③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同； ④一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ）

a?b； ②在有理数集Q上，a?b?ab； ab③在正实数集R?上，a?b?alnb；④在集合?n?Zn?0?上，a?b?a?b。

①在整数集Z上，a?b?3、设?是整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设?G,??为群，其中G是实数集，而乘法?:a?b?a?b?k，这里k为G中固定的常数。那么群?G,??中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

①0和?x； ②1和0； ③k和x?2k； ④?k和?(x?2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ ） ①bc?1a?1； ②c?1a?1； ③a?1bc?1； ④b?1ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类?H,aH,bH,cH?。如果6，那么G的阶G?（ ） ①6； ②24； ③10； ④12。

7、设f:G1?G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8、设f:R1?R2是环同态满射，f(a)?b，那么下列错误的结论为（ ） ①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） ①?E:I???E:I??I:F?； ②?F:E???I:F??E:I?； ③?I:F???E:F??F:I?； ④?E:F???E:I??I:F?。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

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1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A? 。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a??? 。 3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj? 。 4、设群G中元素a的阶为m，如果an?e，那么m与n存在整除关系为 。 5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

)，那么??1? 。 6、给出一个5-循环置换??(314257、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是 。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 。 10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d?d'。

5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得a0?a1????an?n?0。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后） 1、给出下列四个四元置换

?1???1234??,?2???1243??,?3???2134??,?4???2143??

?????????1?1?1组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及?1?1,?2和G的所有子群。 ,?3,?4?1234??1234??1234??1234?2、设Z6???0?,?1?,?2?,?3?,?4?,?5??是模6的剩余类环，且f(x),g(x)?Z6?x?。如果f(x)??3?x3??5?x??2?、g(x)??4?x2??5?x??3?，计算f(x)?g(x)、f(x)?g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。 六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且ab?ba，又设a的阶a?m，b的阶b?n，并且(m,n)?1，证明：ab的阶ab?mn。

2、设R为实数集，?a,b?R,a?0，令f(a,b):R?R,x?ax?b,?x?R，将R的所有这样的变换

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构成一个集合G??f(a,b)?a,b?R,a?0?，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1?I2和I1?I2??a?ba?I1,b?I2?都是R的理想。 4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题

1、??1,?1?,?1,0?,?1,1??2,?1?,?2,0?,?2,1??。 2、a。 3、?。 4、mn。

5、变换群。 6、?13524?。 7、?xiayi,xi,yi?R。 8、一个最大理想。 9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。 10、E的每一个元都是F上的一个代数元。 四、改错题

1、如果一个集合A的代数运算?同时适合消去律和分配律，那么在a1?a2???an里，元的次序可以掉换。

结合律与交换律

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立

3、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么S?0。

S=I或S=R 4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。

一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子

5、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,?,an使得a0?a1????an?n?0。

不都等于零的元

测验题

一、 填空题（42分）

1、设集合M与M分别有代数运算?与?，且M~M，则当? 时，?也满足结合律；当? 时，?也满足交换律。 2、对群中任意元素a,b,有(ab)?1= ； 3、设群G中元素a的阶是n，n|m则am= ；

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4、设a是任意一个循环群，若|a|??，则a与 同构；若|a|?n， 则a与 同构；

5、设G=a为6阶循环群，则G的生成元有 ；子群有 ； 6、n次对称群Sn的阶是 ；置换??(1378)(24)的阶是 ； 7、设?????1234??1234???，????4132??，则??? ； 2341????8、设??(14)(235)，??(136)(25)，则????1? ； 9、设H是有限群G的一个子群，则|G|= ； 10、任意一个群都同一个 同构。 二、证明题（24） 1、 2、

设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程xn?e。

叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H

与K的交H?K仍然是G的一个子群。 3、

证明:如果群G中每个元素都满足方程x2?e，则G必为交换群。

三、解答题（34） 1、

叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算a?b?a?b?4作成群。

2、写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

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基础测试参考答案： 一、 填空题

1、满足结合律； 满足交换律； 2、b?1a?1； 3、e；

4、整数加群；n次单位根群；

5、a,a5；?e?,?e,a3??,e,a2,a4??,e,a,a2,a3,a4,a5?；6、n!;4

7、??1234???4132???

8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群； 二、证明题

1、已知G?|n|，|a|=k,则 k|n

令n=kq,则an?akq?(ak)q?e

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