1高考数学导数题型归纳（ 好）

导数题型归纳

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：

'第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

x4mx33x2f(x)???

1262（1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.

x4mx33x2x3mx2????3x 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232?g(x)?x2?mx?3

（1） ?y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，

则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0

2?0???30?g(0)???m?2 ?g(3)?0?9m3??30?? 解法二：分离变量法：

∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立,

2 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立

2x2?33等价于m??x?的最大值（0?x?3）恒成立，

xx3而h(x)?x?（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2

x?m?2

(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”

2则等价于当m?2时g(x)?x?mx?3?0 恒成立

解法三：变更主元法

2 再等价于F(m)?mx?x?3?0在m?2恒成立（视为关于

m的一次函数最值问题）

2?0??F(?2)??x2?x??30????1?x?1 ??2F(2)?02x?x?3?0??? ?b?a?2

-2 2 例2：设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

22解：（Ⅰ）f?(x)??x?4ax?3a???x?3a??x?a?

?0?a?1

f?(x) a 3a a 3a 令f?(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a） 令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）

∴当x=a时，f(x)极小值=?

233a?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b. 42 （Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a22 g(x)?x?4ax?3a的对称轴x?2a

?gmin(x)??a?0?a?1, a?1?a?a?2a（放缩法）

即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.

∴

g(x)max?g(a?2)??2a?1.g(x)min?g(a?1)??4a?4.

?a?1,x?2a a?2?

于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于

?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?g(a?1)??2a?1??a5? 又0?a?1,∴

4?a?1. 5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，

t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；

（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 g(x)?x3??f/(1)??3?a??3解：（Ⅰ）f(x)?3x?2ax∴?， 解得?

b??2??b?1?a（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]

t2（Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?3x?[1,4]

22思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6分离变量

/2思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知a?R，函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x． 122（Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f(x)是(??,解：

??)上的单调函数，求a的取值范围．

f?(x)? （Ⅰ）∵ 令

12x?(a?1)x?(4a?1). 411f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?x3?3x，f?(x)?x2?3，

124f?(x)?0，解得：x??23.

列表如下：

x f?(x) (－∞,－23) －23 (－23,23) － 23 0 (23,+∞) + + 0 f(x) 可知：

递增 极大值 递减 极小值 递增 f(x)的极大值为f(?23)?43， f(x)的极小值为f(23)??43.

f(x)是(??,??)上的单调函数，

（Ⅱ）∵函数

∴

f?(x)?12x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 4122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2.

4 综上，a的取值范围是{a0?a?2}.

例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32 （I）求f(x)的单调区间；

（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 （I）f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a). 1、当a?0时,f?(x)?(x?1)?0恒成立,

当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。 2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,

22f?(x)-1 a-1 单调增区间：(??,?1)a ,(?1,?? 单调减区间：(?1, a?1)（II）当?f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子

集：

1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意 2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1 综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与

0的关

系；

第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数f(x)?113(k?1)2x?x，g(x)??kx，且f(x)在区间(2,??)上为增函数．

332（1） 求实数k的取值范围；

（2） 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

2解：（1）由题意f?(x)?x?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数，

∴f?(x)?x?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立（分离变量法）

即k?1?x恒成立，又x?2，∴k?1?2，故k?1∴k的取值范围为k?1

2x3(k?1)21?x?kx?， （2）设h(x)?f(x)?g(x)?323h?(x)?x2?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令h?(x)?0得x?k或x?1由（1）知k?1，

2①当k?1时，h?(x)?(x?1)?0，h(x)在R上递增，显然不合题意? ②当k?1时，h(x)，h?(x)随x的变化情况如下表：

x (??,k) (k,1) (1,??) 1 k ? ? — h?(x) 0 0 ↗ 极大值↘ 极小值 ↗ h(x) k?1k3k21 ??? 2623k?1由于?0，欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)?0有三个不同的实根，

2

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