2005-2006年经管类线性代数标准答案

2005-2006年经管类线性代数A卷标准答案

一、 填空题（每小题2分）： 1、?99!； 2、?161； 3、?(A?2E)； 4、0； 5、1； 273356、?1,?2或?1,?3或?1,?4； 7、x?0,y?1； 8、k?； 9、0?t?1。

二、（本题10分）

1?a1?a1解:D??a1??a11??a1a2...an1a11a210??100a3?0（第一行的—1倍分别加到其余各行） 3分 ????01a210?0n0?an1a3010????1an001?1?1??1（各列提出公因子a1a2...an） 5分

???1??i?11ai1a21a3?1an?a1a2...an00?0n10?0（各列加到第一列） 8分

01?0????00?1?a1a2...an(1??i?11) 10分 ai

三、（本题10分）

解 并项： (A??2E)X?A?1 1分

1

左乘A： [AE?2A]X?E 3分 计算： A?4 5分

1(2E?A)?1?11???0110??1? 10分 X?(4E?2A)?1?24??101??

四、（本题12分）

??11?2?R??R?11??2?解: A=?A,B????1?1?????2??????R1R32?3?(R1,R3)??0??11??? ?11??2????01??1??2?2??3???11?????R3?R2???2?0??11???(1??)?? ??00(2??)(1??)?(??2)(?2???1)??(1) 当???2且??1时, r(A)?r(A)?3, 原方程组有唯一解. ?11??2?R??R??11????1?R??R13?10A?????12(2??1)(1??)?R3??01?1??23?1??1?????R1??RR2??0? ?001?2?010????1?1????001?2????1?1????故原方程组唯一解为:?x?11?1???x2??1 ??1?x?3?2???1??1(2) 当???2时, r(A)?r(A)?2?3(未知数个数), 原方程组有无穷多解. ?11?24??1?R2?10?12A???0?33?6?3???????R1?R2?01?12??000????

?0?0000??同解方程组为??x1 ?x?x1?2?c3?2 故通解为:??x2?2?c (?c?R) ? x2?x3?2??x3?c(3) 当??1时, r(A)?1, r(A)?2, r(A)?r(A), 故原方程组无解.

2

3分 4分

5分

7分 8分9分

11分

12分 五、（本题10分）共二问：每问5分

证明：（1）{?1,?2,??s}?{?1,?2,??s,?1,?2...,?t}, 即A?C?r1?r3 2分

{?1,?2...,?t}?{?1,?2,??s,?1,?2...,?t}, 即B?C ?r2?r3 3分 从而max(r1, r2)?r3 4分 （2）不妨设?1,?2,?,?r1(r1?s)为?1,?2,?,?s的一极大无关组

?1,?2,...,?r2(r2?t)为?1,?2,...,?t的一极大无关组 显然，{?1,?2,?,?s}?{?1,?2,?,?r1}, {?1,?2,...,?t}?{?1,?2,...,?r2} ?{?1,?2,?,?s,?1,?2,...,?t}?{?1,?2,?,?r1,?1,?2,...,?r2} ?r3?{?1,?2,?,?r1,?1,?2,...,?r2}

又r{?1,?2,?,?r1,?1,?2,...,?r2}?r1? r2 即r3?r1? r2

六、（本题10分）

解: 设?为A的任一特征值，则A???? ???1???a?2?????????1?????a??3 ?1??b?????? ???????b?0??2?12?A??5?33? ???10?2??? 特征方程?E?A?(??1)3?0 ? ?1??2??3??1 ?2??101? A?(?1)E??3?1?5?23?行?011? r(A?E)?2 ???10?1????????000?? 由此可得：对应特征值???1只有1个线性无关的特征向量

??1?特征方程的基础解系为???1?, 全体特征向量为x?k? (k?0)． ?1?????

3

5分

6分

8分 10分 1分

4分

6分

8分 9分

r(A?E)?2?0?n?ni，所以A不能对角化。 10分

七、（本题20分）共四问：每问5分 解：设?为A的任一特征值

（1）相应的B的特征值为??2?2?3?3 2分 所以, B相应的特征值为2，18，-6. B有三个不同的特征值，所以B可对角化

?200B????0180?? ??00-6??（2） B=2×18×(-6)=-2 1 6 A2?3E的特征值为:?2?3??2, 1, ?2 A2?3E?(?2)*1*?(2? ) 4

八、证明: 设?是A的任一特征值. f(A)?A3?A2?A?3E?0

?f(?)??3??2???3?0 ? ??1，或??1?2i A为实对称矩阵，其特征值一定为实数 故A的全部特征值为?=1>0，都大于零 因此A是正定矩阵

九、（本题10分）

?1a1??0解：二次型的矩阵A=??a12b??， 标准形为?=???12b1?????

4

?1?? 2?? 3分 5分

6分 8分

10分

1分

4分

6分 8分 9分 10分

2分

显然A??, 所以A的特征值为?1?0, ?2?1, ?3?2 3分

??1特征多项式?E?A??a?1?a?1??1?2b??(??1)(??2) ?2b??1?3?3?2?(a2?4b2?2)??(a2?4ab?4b2)??3?3?2?2? 5分

22??a?4b?2??2 ?a?b?0 7分 同次幂系数相等 ?22??a?4ab?4b?0?101???A=?010? 特征值?1?0, ?2?1, ?3?2对应特征向量分别为: ?101????1???1,0,1?, ?2??0,1,0?, ?3??1,0,1? 8分

TTT?1???12,0,12?T, ?2??0,1,0?, ?3?T?1212,0,12?T 9分

1?x1???2???所用的正交变换X?PY, 即?x2???0?x??1?3??2010??y1????0??y2? 10分 1??y?2??3?

B卷标准答案 B卷：第二题——第九题与A卷次序不同，但内容相同，答案参照A。 B卷一、填空题（每小题2分）：

0?t?1；k?；1、x?0,y?1； 2、 3、 4、 ?1,?2或?1,?3或?1,?4；

355、?(A?2E)； 6、0； 7、1； 8、?

1316； 9、?99!。 27 5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库2005-2006年经管类线性代数标准答案在线全文阅读。