数学分析中的极限问题-应用数学毕业论文终稿

信阳师范学院

本科毕业论文

专 业 数学与应用数学 年 级 姓 名 论文题目 数学分析中的极限问题 指导教师 职称

**** 年 *月 * 日

目 录

摘 要 ........................................................................................................... 1 关键词 ........................................................................................................... 1 Abstract ......................................................................................................... 1 Key words. .................................................................................................... 1 引言 ............................................................................................................... 1 1.综述 ............................................................................................................ 2

1.1极限的产生与发展 ............................................................................................. 2 1.2极限问题的类型 ................................................................................................. 3

2.常见的极限求解方法 ................................................................................ 3

2.1简单求极限的方法 ............................................................................................. 3 2.2利用两个重要极限公式求极限 ......................................................................... 4 2.3利用洛必达法则求极限 ..................................................................................... 5 2.4利用极限的四则运算法则求极限 ..................................................................... 6 2.5利用等价无穷小替换求极限 ............................................................................. 6 2.6利用定积分求极限 ............................................................................................. 7 2.7利用泰勒公式求极限 ......................................................................................... 8 2.8两边夹法则求极限 ............................................................................................. 9 2.9利用单侧极限求极限 ....................................................................................... 10 2. 10利用中值定理求极限 .................................................................................... 11

小结 .............................................................................................................. 12 参考文献 ...................................................................................................... 13

数学分析中的极限问题

学生姓名：** 学号：********* 数学与计算机科学系 数学与应用数学专业 指导教师：** 职称：**

摘 要：极限是数学分析这门学科的基础，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末. 本文主要是对数学分析中的极限的产生与发展，以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究. 本文的重点在第二章，具体介绍了运用四则运算法则、两个重要极限、两边夹法则、等价无穷小替换等方法求解极限.

关键词：四则运算法则；洛比达法则；泰勒公式；两边夹法则.

Abstract: Limit is the basis of mathematical analysis of the subject, through the of though with the tools of limit, make the content more rigorous mathematical analysis, through the mathematical analysis of events. This article is mainly to limit the emergence and development of mathematical analysis, as well as the common limit of conventional method are disscussed and studied. In the second chapther, the focus of this article, using the laws of arthmetic are analysised in detail, two important limits,between law and equivalent infinitesimal substitution method to solve the limit. Key words: four arithmetic operations; the derivation rule; Taylor formula; both sides grip rule.

引言

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量. 因此，极限具有由此达彼的重大创新作用. 同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终. 极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学. 同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.

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极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用. 因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题. 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握. 本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用.

1.综述

1.1极限的产生与发展

早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽.

我国三国时期的大数学家刘徽（约225年～295年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正3072边形的面积和周长，从而推得3.141024?π?3.142704.在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才算到同样精确度的小数.?这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光辉.刘徽的割圆术不仅仅是先导，而且是一面旗帜，为研究复杂的逼近数列打开了先河.

16世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展. 17世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分. 随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围.在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要. 经过近百年的争论，直到19世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念.

德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列{an}如果找到一个实数a，无论预先指定多么小的正数?，都能够在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值都小于?，就把这个实数a叫做数列{an}的极限.

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