优化模型讲解 附LINGO程序(2)

2*x1+x2>=12; 2*x1+9*x2>=36; 2*x1+3*x2=24; 2.3 练习：运输问题

设有两个煤厂甲和乙，每月进煤数量分别为60和100吨，联合供应三个居民区A、B、C，三个居民区每月对煤的需求量依次为50吨、70吨和40吨。

煤厂到各个居民区的运输费用如图所示，如何分配供煤量使得总费用最少？

A甲乙104B58C6123 整数规划模型

部分变量或全部变量要求取整数，称为整数规划模型。

LINGO程序中通过“@gin(变量)”命令限制变量为整数，例如：

maxf?4x1?3x2

?4x1?x2?10?s.t?2x1?3x2?8 ?x,x?0且为整数?12LINGO程序：max=4*x1+3*x2; 4*x1+x2<=10; 2*x1+3*x2<=8; @gin(x1); @gin(x2); 3.1 电影院广告问题

某小型工厂计划每周花71元在两个小型电影院加映广告片，推销该厂的产品，为了获得更多的观众，要合理的在两个电影院里分配经费。已知甲电影院加映广告片的时间为4分钟，每放映一次要付12元，预计每次有200人观看，该电影院每周仅能为该厂提供13分钟广告时间；乙电影院广告片的时间为2分钟，每次收费16元，预计每次300人观看，该电影院仅能为该厂提供7分钟广告时间。若观众人数以百人计，试建立数学模型解答。

4

模型建立：

假设每周在甲电影院放映广告x1次，在乙电影院放映x2次，观看的观众总数为f。

maxf?2x1?3x2

?12x1?16x2?71??4x1?13s.t?

2x?7?2?x,x?0且为整数?12LINGO程序：

max=2*x1+3*x2; 12*x1+16*x2<=71; 4*x1<=13; 2*x2<=7; @gin(x1); @gin(x2);

3.2 练习：生产计划问题

某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要占用的设备时数、每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表所示。

问题：工厂应如何安排生产可获得最大的利润？

设备A设备B设备C利润（元/件）产品甲3201500产品乙2132500设备能力/h6540754 0-1规划

0-1规划是整数规划中的一种特殊情形，当决策变量xi只能取0或1时，这样的整数规划称之为0-1规划。

约束条件可以写成“0?xi?1,且为整数”，LINGO中通过“@bin(变量)”命令实现。 4.1 背包问题

一旅行者的背包最多只能装6kg的物品，待装的物品有4件，它们的重量和价值依次为：2kg，1元；3kg，1.2元；3kg，0.9元；4kg，1.1元。那么他的背包中携带哪些物品可使价值最大？

5

模型建立：

用xi表示第i种物品是否被携带，令

?1,携带第i种物品 xi???0,不携带第i种物品携带物品的总价值记为f。

maxf?x1?1.2x2?0.9x3?1.1x4

?2x1?3x2?3x3?4x4?6s.t?

0?x?1,且x为整数(i?1,2,3,4)ii?LINGO程序：

max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4; 2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); 4.2 矿井选址问题

某煤矿准备在5个矿井挖煤，现在有10个矿井可供选择，设10个矿井的代号为A1、 A2、?、A10，相应的开采费用分别为8、9、3、10、4、7、5、14、11、8，对矿井的选择要满足以下限制条件： （1）或选A1和A7，或选A8；

（2）在A4、A5、A6、A7中最多只能选两个； （3）选择A3或A4，就不能选择A5，反之亦然。

如何选择，才能使开采总费用最小？ 模型建立：

用xi表示第i个矿井是否被选择，令

?1,选择第i个矿井xi??

0,不选择第i个矿井?开采总费用记为f。

maxf?8x1?9x2?3x3?10x4?4x5?7x6?5x7?14x8?11x9?8x10

6

?10??xi?5?i?1?x1?x8?1??x7?x8?1 s.t?x4?x5?x6?x7?2??x3?x5?1??x4?x5?1?0?x?1,且x为整数(i?1,2,?,10)ii?LINGO程序：

max=8x1+9*x2+3*x3+10*x4+4*x5+7*x6+5*x7+14*x8+11*x9+8*x10; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=5; x1+x8=1; x7+x8=1; x4+x5+x6+x7<=2; x3+x5<=1; x4+x5<=1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7); @bin(x8); @bin(x9); @bin(x10);

4.3 练习：混合泳接力队的选拔问题

某学校准备从5名游泳队员中选拔4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力赛。5名队员4种泳姿的百米平均成绩如表所示，问如何选拔队员组成接力队？

蝶泳仰泳蛙泳自由泳甲1分06秒81分15秒61分27秒58秒6乙57秒21分06秒1分06秒453秒丙1分18秒1分07秒81分24秒659秒4丁1分10秒1分14秒21分09秒657秒2戊1分07秒41分11秒1分23秒81分02秒47

5 LINGO应用

5.1 变量定界函数

变量定界函数对变量的取值范围附加限制，共有以下四种函数： @bnd(a,x,b)：限制a?x?b。 @bin(x)：限制x为0或1。

@free(x)：取消对x的符号限制，即可取负数、0或正数。 @gin(x)：限制x为整数。 5.2 集合

理解LINGO建模语言最重要的是理解集合及其属性的概念。一段完整的LINGO程序以“model:”开始，以“end”结束，中间的程序语句由三部分构成：

（1）集合定义部分：以“sets:”开始，以“endsets”结束，用来定义集合及其属性。 程序格式：“集合名称/集合元素/:集合属性”。

（2）数据输入部分：以“data:”开始，以“enddata”结束，用以对属性赋值。 程序格式：“集合属性=常量值”。

（3）其他部分：给出目标函数及约束条件。 例如，4.1背包问题。 模型建立：

用ci表示第i种物品的价值，di表示第i种物品的重量，xi表示第i种物品是否被携带，则

?1,携带第i种物品xi??

0,不携带第i种物品?携带物品的总价值记为f。

4maxf??cx

iii?1?4??dixi?6 s.t?i?1?0?x?1,且x为整数(i?1,2,3,4)ii?LINGO程序：

model: sets:

wupin/1,2,3,4/:c,d,x; endsets

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