第十讲 枚举法
例1 如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）.
解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.
（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）.
下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）～（5）.
例2 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.
解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.
注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.
例3 在10和31之间有多少个数是3的倍数？ 解：由尝试法可求出答案： 3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24 3×9=27 3×10=30
可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个. 注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法： 10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数； 1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数； 333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数. 由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围. 例4 两个整数之积为144，差为10，求这两个数？
解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：
1 2 3 4 6 8 9 12 144 72 48 36 24 18 16 12
可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求. 例5 12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？
解：列举出两种硬币的可能搭配：
可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.
例6 小虎给4个小朋友写信.由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？
解：把4封信编号：1，2，3，4. 把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.
并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：
说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.
习题十
1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问： ①这个长方形的面积有多少可能值？ ②面积最大的长方形的长和宽是多少？
2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？
3.三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个？如（1，2，12）就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，12）和（2，12，1）是同一数组.
4.小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？
5.一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？
6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？
7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗？比如说下面是其中一种：
8.五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？
习题十解答
1.解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11（米），由长方形的面积=长×宽，可知：
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