概率论与数理统计习题

《概率论与数理统计》试题一

1．设事件A与B互斥，且0?P(B)?1，试证明：P(A/B)?P(A)．

1?P(B)2．设P(A)?0，试证明：P(B|A)?1?P(B)． P(A)3．甲乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．

4．一栋10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率．

5．设某厂的某种生产设备的寿命X服从指数分布，其概率密度为

x?1?1?e4,x?0P(x)??4，

??0,x?0工厂规定：若出售的设备在一年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备

获利100元，调换1台设备厂房需花费300元，求厂方售出1台设备净获利的数学期望．

6．设随机变量X在(0,2)内服从均匀分布，求随机变量Y?X2的分布函数和分布密度．

7．假设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，求证：随机变量Y??参数为2的指数分布．

8．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从二项分布B(n,p),B(m,p),求证：

X?Y~B(n?m,p)．

ln(1?x)服从29．从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间

(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

《概率论与数理统计》试题二

1．一个袋中装有12个球，其中4个红球，8个白球，从中不放回地取出3个球，试求取出3个同颜色球的概率．

2．某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品，从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．

3．袋中有4个白球，2个红球，从中任取3个球，用?表示所取3个球中红球的个数，求?的分布列．

4．某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率都是0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器出故障的台数不少于2的概率． 5．已知随机变量X的概率分布为 3 0 X 1 2 P 1 1 1 1 2488试求X的分布函数FX(x)．

6．设随机变量X所有可能的取值为1,2,?,n，且已知概率

P(X?k)?ak(k?1,2,?,n)，求常数a的值．

7．设X与Y相互独立，且X与Y分别服从区间(?1,1),(0,1)的均匀分布，求方程

t2?2Xt?Y?0无实根的概率．

?2xy?x?,0?x?1,0?y?28．设二维随机变量(X,Y)的密度函数为：f(x,y)??， 3?0,其它?求P(X?Y?1)．

9．设X1,X2,?Xn是来自于总体X的容量为n的样本，试证明样本均值

1nXn??Xi是总体均值E(X)的一致估计量．

ni?1

《概率论与数理统计》试题三

1．在区间(0,1)内任取2个数，求这2个数的乘积小于

1的概率． 42．从1,2,?10共10个数中任取7个数，取后放回，每次取一个，求10恰好出现2次的概率．

3．设A,B,C3个事件相互独立，证明A?B与C相互独立． 4．证明事件在1次实验中发生次数的方差不超过

1． 45．证明对任意实数c均有E[(X?c)2]?D(X)，且等号成立当且仅当c?E(X)． 6．在下列两种情形下，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率，其中X是随机变量．

（1）X服从?（2）X服从区间[1,6]上的均匀分布． 1,2,?,6?上的均匀分布．7．证明对任意实数c均有E[(X?c)2]?D(X)，且等号成立当且仅当c?E(X)． 8．已知罐头番茄汁中维生素C(Vc)的含量服从正态分布，按照规定Vc的平均含量不得低于21mg，现从一批罐头中取17罐，算得Vc含量的平均值X?23，

s2?3.982，问该批罐头的Vc含量是否合格？

?1?x,?1?x?0?9．设随机变量X的概率密度为f(x)??1?x,0?x?1，求D(X)．

?0,其它?10．车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为每袋净重0.5kg，设包装机实际

生产的每袋质量服从正态分布，且由长期的经验知其标准差??0.015kg，某天开工后，为了检验包装机的工作是否正常，随机抽取了9袋，称得净重为：

0.497,0.506,0.524,0.488,0.511,0.510,0.515,0.512,0.518

问这天包装机的工作是否正常？(??0.05)

《概率论与数理统计》试题四

1．某人从甲地到乙地，乘火车，轮船，飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到，问这个人迟到的概

率是多少？又如果迟到，问他乘轮船的概率是多少？

2．在1~200中随机地取整数，问取到的整数不能被6和8整除的概率是多少？ 3．一批产品分一，二，三级，其中一级品是二级品的2被，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地取出抽取1个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的概率分布．

4．在区间(0,1)中随机地取出2个数，求2个数之和小于1.2的概率．

5．将n只球（1~n号）中去，一只盒子装一只球，若一只微2装入与球同号的盒子中称为一个配对，记总的配对数为随机变量X，求E(X)．

Y相互独立它们分别服从参数为2和5的指数分布，6．设随机变量X，求X?Y的数学期望和方差．

x?1?cos,0?x??7．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，对X独立地重复观察42?0,其它??的次数，求Y2的数学期望． 31?x8．设随机变量X的概率密度为P(x)?e(???x???)，证明：X与X不相

2关．

1?x9．设随机变量X的概率密度为P(x)?e(???x???)，证明：X与X不相

2关．

10．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36为考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分．问在显著性水平0.05下是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程． 次，用Y表示观察值大于

《概率论与数理统计》试题五

1．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．

2．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．

3．设射击中靶的概率为0.45，X表示首次中靶时的射击次数． （1）求X的分布律；（2）求P（X取偶数）． 4．设随机变量X~U?0,1?，求Y??2lnX的概率密度．

5．某电子元件的寿命（单位：小时）是以

0x?100??100 f?x???x?100??x2为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率．

6．将n个人的帽子混放，然后每人任取一顶帽子，以X记配对个数，求EX．

?11?7．设随机变量X服从??,?上的均匀分布，

?22??lnx,x?0,， y?g?x????0,x?0.求Y?g?X?的数学期望和方差．

8．在总体N2,0.52中随机抽取容量为9的样本，求样本均值X落在1.5到2.5之间的概率．

9．设总体X的分布律为 P{X=x}=(1?p)x?1p,x?1,2,?，（X1,X2,?,Xn)是

??来自X的样本，试求： （1）p的矩估计量；（2）p的极大似然估计量．

10．设X1,X2是来自总体N（?,1）的样本，证明以下统计量均是?的无偏估计，并指出选择哪一个统计量作为?的估计量最好．

??211311?1?X1?X2 ，?2?X1?X2 ，?3?X1?X2

334422?

《概率论与数理统计》试题六

1．设随机变量X，Y独立，其密度函数分别为

?e?y,y?0?1,0?x?1， fX(x)??,fY(y)??0,其他??0,y?0求Z=2X+Y的概率密度函数．

2．已知 X在[0,2]上服从均匀分布，求Y?X3的概率密度．

3．设X～N?108,9?，（1）求P?101.1?X?117.6?；（2）求a，使P?X?a??0.90；（3）求a，使P?X?a?a??0.01．

?102?4．设?X1,X2,...,X10?为总体X的一个样本，X～N0,0.3，求P??Xi?1.44?．

?i?1??2?5．某保险公司规定，如果在一年内顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿顾客

a元，若1年内事件A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，问该公司应要求顾客交多少保险费？

6．盒中有4只次品和6只正品，在其中取两次，每次取一只不放回，求： （1）恰有一只次品的概率；（2）至少有一只次品的概率；（3）全为正品的概率． 7．已知?X,Y?在区域D???x,y?0?x?1,0?y?2?上服从均匀分布，试计算概率

P?X?Y?1?，PX2?Y．

8．设总体X～N?,?2，X1,X2,X3为总体的一个样本，试证明：

??131115111?1?X1?X2?X3，?2?X1?X2?X3，?3?X1?X2?X3

51023412362?????都是?的无偏估计量，并分析哪一个最好．

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