四年级奥数详解答案 第20讲 余数问题

四年级奥数详解答案 第20讲

第二十讲 余数问题

一、知识概要

余数是个有趣的问题，在平时解数学题时，常常碰到有关余数的问题。在解答这类问题时，关键是找出律，把要求的问题余数的变化相对应，以求得问题的解决。有关余数的关系式、性质有：

1、被除数=除数×商＋余数 2、被除数－余数=除数×商 3、余数一定小于除数

二、典型题目精讲

1、 2000年的“元旦”是星期六，这年的6月1日是星期_______。

解：① 以“元旦”（1月1日）到“六一”，共有31＋29＋31＋30＋31＋1=153（天）；

② ∵“星期”是以7天为一个周期，依次循环的，∴153÷7=21（周）??6（天）。 ③∵（如表所示）余数为6的是星期四，∴这年的6月1日星期 四 。

1，8 2，9 3，10 4，11 5，12， 6，13 7，14 时期 ? ? ? ? ? ? ? 余数 星期

2、 把16把椅子放在圆桌的周围，依次编上1，2，3，

??15，16的号码，（如图），小明以1号椅子开始 出发，顺时针方向前进328个，再逆时针方向前进 485个，又顺时针方向前进328个，再逆时针方向前 进485个，又顺时针方向前进136.这时小明应该坐在 ______号椅子上。

解：∵ 顺时针方向共前进了328×2＋136=792（个）； 逆时针方向共前进了485×2=970（个）；

“顺”、“逆”相抵（970－792）实际上是逆时针方向前进了178个(970－792=178个)，

而“个数”又是以16个为周期（一圈）循环的，

∴178÷16=11（圈）??2（个），逆时针胶时2个是15号，故这时小时应该坐在 15 号椅子上。

3、 把连续奇数1、3、5、7、??，按下图所示的方法排列。问数1995在______射线上，

1 六 2 日 3 一 4 二 5 三 6 四 0 五 是这条射线的第_______个数。

解：① 由下表可知，连续奇数以“a、b、c、

d、d、c、b、a”八个数为一组，成周 期循环，即多“17、19、??31”开 始重复出现“a、b、??a”；而“17、 19、?31”是奇数列的第9项、第10 项?第16项，这个项数刚好是本项的 （奇数＋1）÷2所得,所以（1995＋1） ÷2=998（项），998÷8=124（周期）

??6（个），余数为6的是第14项奇数27，在射线C上，

故1995也在射线C上。 奇数 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ? 射线 a 余数 b c d d c b a a 1 b 2 c 3 d 4 d 5 c 6 b 7 a 0 ? ? ② 在一个循环里，每条射线上有2个奇数，所以124个循环中共有124×2=248（个） 奇数。在余下的6个数这个循环里，又有余数为3和6这两个奇数，所以，1995 是射线C上的第248＋2=250个数。

三、历届赛题选讲

1、 （1993年全国小学数学竞赛）

某年的二月份有五个星期四，这年六月一日是星期_______。

解：∵ 7×4=28（天），∴二月份有五个星期四必须是29天（闰月），且2月1日就是星期

四。而从2月1日至6月1日共经过了（29＋31＋30＋31＋1）=122天，122÷7=17 （周）??3日，3日（号）是星期二，故六月一日也是星期二。

2、 （1998年第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）

姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式报数：

赵 钱 孙 李 周 吴 王 1 2 3 4 5 6 7 13 12 11 10 9 8 14 15 16 17 18 19 25 24 23 22 21 20 26 27 ? ? ? ?

报“1998”的是姓_________的同学。

解：由题意可知，他们的“报数”与“赵、钱、??王”的对应关系是：“报数”以12个数

为一个周期，依次在“赵、钱、??王”之间循环。所以，1998÷12=166（周期）?6， 余数是6的，即报数6的是姓吴，于是，报“1998”的是姓 吴 的同学。

3、 （1996年山西省第二届小学生数学竞赛）

有红、白、黑三色卡片共182张。按照先5张红色，再3张白色，再4张黑色的次序 排列下去，最后一张是______色；第150张是_______色。

解：由题意可知，三色卡片的排列规律是：以12张为一组成周期循环，所以，182÷12=15 ；150÷12=12（周期）??6（张），即最后一张（第182张）与第 （周期）??2（张）

2张同色是 红 色；第150张与第6张同色，是 白 色。

四、练习巩固与拓展

1、 把○□△这三种图形如下规则排列：○○○△□□○○○△□□??，问第100个图形 是什么？前100个图形中△共有________个。

2、 下列所示，第一组是（1，A，我），第二组是（3，B，们），第三组是（4，C，爱），??

问第94组是________。如果（3，C，学）代表1950年，那么2000年对应的是什么组？

1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 ?? 数字 字母 汉字 A 我 B 们 C 爱 A 数 B 学 C 我 A 们 B 爱 C 数 A 学 B 我 ?? ??

3、 8×8×8×??×8的积的个位数是__________。

4、 35位同学，他们身上带的钱从13元到47元，钱数都不相等，但都是整元数。每个同

学都把自己身上带的钱全部用于买两种课外书：3元一本和5元一本，每人都尽量地多 买5元一本的。问他们所买的3元一本的课外书的总数是__________本。

5、 一列数4、2、8、5、7、4、2、8、5、7、4、2??问第1993个数是______，这1993 个数的和是_________。

6、 2000年的“元旦”是星期六，这年的“五一”节是星期______。

7、 8把椅子排成一个正方形，依次编号（如下图），张华坐在3号椅子上，他顺时针前进了245个座位后又倒退了一个座位，这时他应该坐在第几号椅子上？

8、 如图所示，原先甲、乙、丙、丁四人分别坐在1，2，3，4号位子上，后来不停地调换

位子。第一次上、下两排交换，第二次再左右两排交换，第三次再上、下两排交换，

第四次再左右两排交换，?这样一直交换下去，第33次交换后，甲坐在第几号位子上？

1甲 2乙 1丙 2丁 1丁 2丙 1乙 2甲 1甲 2乙

3丙 4丁 3甲 4乙 3乙 4甲 3丁 4丙 3丙 4丁

开 始 第一次 第二次 第三次 第四次 9、 自然数1起按下列顺序排列：

A 1 6 7 12 13 18 ?? B 2 5 8 11 14 17 ?? C 3 4 9 10 15 16 ?? （1）489应排在A，B，C中的哪一行？ （2）排到489时，A行上共有几个数？ （3）500应在B行上的第几个数？

10、按右图所规定的顺序数手指头，问当数到2000时，应正好数到哪个手指上？（五个手 指依次为大拇指，食指，中指，无名指，小拇指）

11、紧接着1992后面写一串数字，写下的每一个数字都是它的前两个数字乘积的个位数，

例如9×2=18，在2后面写8；2×8=16，在8的后面写6；??。这样得到一串数字为 1992868842868??。这串数字从1开始往右数第1000个数字是几？这1000个数字的 和是多少？

12、4×4×4×??×4的积的个位数是几？

13、2222个2222相乘，所得结果的个位数是几？

14、有一个八位数，它每三个相邻数字之和都是24小，请算出图中X表示的数字。

9 X 8

15、46位同学身上带的钱从5角到5元，钱数各不相同，但都是整数。每个同学都把带来

的所有钱买了粘贴线只有两种：2角一张和3角一张，每人尽量多买3角一张的粘贴纸。 问他们所买的2角一张的粘贴纸共有多少张？

16、教师节前夕，某校40名少先队员给老师做大红花，分到每人手中的纸从7张到46张各 不相同，规定用3张或4张纸何等一朵花，并且要求每人把分给自己的纸全部用完，并 且尽可能多做一些花。那么用4张做的花共有多少朵？

第二十讲 <练习巩固与拓展>答案 1、解：① 100÷6=16（周期）??4（个）；②∵1个周期里有1个△，∴1×16＋1=17（个），

故第100个图形是△；前100个图形中共有17个△。 2、解：94÷4=23??2，所以数字是3； 94÷3=31??1，所以字母是A； 94÷5=18??4，所以汉字是数； 这样就可得第94组是（3，A，数） 51÷4=12??3，所以数字是2； 51÷3=17，所以字母是B； 51÷5=10??1，所以汉字是学； 这样就可得2000是（2，B，学）。 3、解：如图所示： 1 几个8连乘 积的个位数 8 2 4 3 2 4 6 5 8 6 4 7 2 8 6 9 8 10 4 ?? ?? 1993÷4=498??1，

若干个8连乘，积的个位按8，4，2，6循环，所以1993年8连乘，积的个位数是8。 4、解：如图所示：

钱数（元） 13 14 5元本数 3元本数 2 1 1 3 15 3 0 16 2 2 17 1 4 18 3 1 19 2 3 20 4 0 21 3 2 22 2 4 23 4 1 24 3 3 25 ?? 5 0 ?? ?? 35÷5=7 （1＋3＋0＋2＋4）×7=70（本） 所以买3元一本课外书的总数是70本。 5、解：1993÷5=398??3，所以第1993个数是8. （4＋2＋8＋5＋7）×398＋（4＋2＋8） =26×398＋14 =10362

所以这1993个数的和是10362。 6、解：2000年是闰年：（31＋29＋31＋30＋1）÷7 =122÷7 =17??3 所以这年的劳动节是星期一。 7、解：245÷8=30??5

张华原坐在3号椅子上，顺时针前进245个座位应在8号椅子上。又倒退了一个座 位，所以他应该坐在第7号椅子上。

8、解：33÷4=8??1 所以甲应坐在3号位子上。 9、解：（1）489÷6=81??3 所以489应排在C行上。

（2）2×81＋1=163 所以排到489时，A行共有163个数。

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