定性数据分析第二章课后答案(2)

H0: p1?r2, p2?p2?2pr, p3?q2?2qr, p4?2pq

这些pi都依赖两个未知参数p,q。在原假设H0成立时的似然函数为

L(p,q)?(r2)374(p2?2pr)436(q2?2qr)132(2pq)58 ?(1?p?q)则对L(p,q)求对数得

748p436(2?p?2q)436q132(2?q?2p)132(2pq)58

lnL(p,q)?748ln(1?p?q)?436lnp?436ln(2?p?2q)?132lnq?132ln(2?q?2p)?58ln2pq对lnL(p,q)求偏导数得

?74843643626458??lnL????0???0??p1?p?qp2?p?2q2?q?2pp? ??lnL?74887213213258???0?????0?1?p?q2?p?2qq2?q?2pq??q利用Mathematica软件求解(程序编码及运行结果见附录)

??0.289,q??0.100，从而得pi的极大似然估解得p和q的极大似然估计为p?i?pi(p?,q?), i?1,....,4。计p它们分别为0.37332、0.43668、0.13220和0.05780。?i, i?1,....,4。它们分别为373.32、436.68、由此得各类的期望频数的估计值np132.20和57.80。所以?2统计量的值为

(374?373.32)2(436?436.68)2(132?132.20)2(58?57.80)2????? 373.32436.68132.2057.80 ?0.0032922这里r=4，m=2，r-m-1=1。检验的p值等于自由度为1的?2变量。有Excel可

, 1)?0.954245 ?? 0.05，故接受H0，我们认为以算出p值为p?chidist(0.003292以上数据与遗传学理论是相符的。 附录 ①程序代码：

NSolve[{(-748)/(1-p-q)+436/p+(-436)/(2-p-2*q)+0+(-264)/(2-q-2*p)+58/p

==0,(-748)/(1-p-q)+0+(-872)/(2-p-2*q)+132/q+(-132)/(2-q-2*p)+58/q==0},{p,q}]//MatrixForm

②利用Mathematica软件运行结果: Out[21] //MatrixForm

q ? 0.0900929? p ?1.56083??? p ?0.209806 q ?1.50996?? ? p ? 0.722065 q ?0.473295???? p ? 0.288632? q ? 0.0999891??注：在上述结果中由于p + q = 1-r < 1，所以软件运行的结果中只有第四个解

??0.289,q??0.100。 满足条件，即p和q的极大似然估计为p

【第7题】

解：由题知，在豌豆实验中，子系从父系（或母系）接受显性因子“黄色”和

“青色”的概率分别为p和1-p，而子系从父系（或母系）接受显性因子“圆”和“有角”的概率分别为q和1-q。

我们将豌豆实验中得到的“黄而圆的”、“青而圆的”、“黄而有角的”和“青而有角的”这四类豌豆分别记为A1，A2，A3，A4，则这四类豌豆的分布律如下表所示： 豌豆类型 概率 A1 A2 A3 A4 pq(2?p)(2?q) q(2?q)(1?p)2 p(2?p)(1?q)2 (1?p)2(1?q)2 将豌豆类型Ai所占的比例记为pi (i?1,......,4)，则本题所要检验的原假设为：

H0: p1?pq(2?p)(2?q), p2?q(2?q)(1?p)2 p3?p(2?p)(1?q), p4?(1?p)(1?q)222

这些pi都依赖两个未知参数p,q。在原假设H0成立时的似然函数为

L(p,q)?[pq(2?p)(2?q)]315[q(2?q)(1?p)2]108[p(2?p)(1?q)2]101[(1?p)2(1?q)2]32 ?p416q423(2?p)416(2?q)423(1?p)280(1?q)266则对L(p,q)求对数得

lnL(p,q)?416lnp?423lnq?416ln(2?p)?423ln(2?q)?280ln(1?p)?266ln(1?q)对lnL(p,q)求偏导数得

??lnL416416280??p?p?2?p?1?p?0? ???lnL?423?423?266?0?q2?q1?q??q即得出下列方程：

2??1112p?2224p?846?0 ?2??1112q?2224q?832?0??0.511,q??0.498，解得p和q的极大似然估计为p从而得pi的极大似然估计

?i?pi(p?,q?), i?1,....,4。它们分别为0.56923、0.17898、0.19157和0.06023.p?i, i?1,....,4。它们分别为316.489、99.511、由此得各类的期望频数的估计值np106.511和33.489。所以?2统计量的值为

(315?316.489)2(108?99.511)2(101?106.511)2(32?33.489)2????? 316.48999.511106.51133.489 ?1.0825642这里r=4，m=2，r-m-1=1。检验的p值等于自由度为1的?2变量。利用Excel

, 1)?0.298125 ?? 0.05，可以算出p值为p?chidist(1.082564故接受H0，我们认为

观察数据与这样一个遗传学的模型是相符的。

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