高中数学常用公式及常用结论(2)

（2）logamlogan?loga2m?n2.

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

xy?N(1?p).

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；

*其前n项和公式为

sn??d2n(a1?an)2n?(a1?2?na1?d)n.

n(n?1)2d

1241.等比数列的通项公式

an?1n*an?a1q?1?q(n?N)；

q其前n项的和公式为 ?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.

?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为 ?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?nsn??. d1?qd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)

每次还款x?ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

44．常见三角不等式

?（1）若x?(0,)，则sinx?x?tanx.

2(2) 若x?(0,)，则1?sinx?cosx?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin?22，tan??cot??1. sin??cos??1，tan?=

cos?46.正弦、余弦的诱导公式

n?2n??(?1)sin?,sin(??)?? n?12?2?(?1)cos?,

(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) ?2s,n??(?1)co? cos(??)??n?12?2s?in,?(?1)n47.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?2.

2sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos??sin?. asin??bcos?=

22a?bsin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

22定,tan??ba ).

48.二倍角公式

sin2??sin?cos?.

cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?.

2tan?tan2??. 21?tan?222249. 三倍角公式

sin3??3sin??4sin??4sin?sin(33?3??)sin(?3??).

cos3??4cos??3cos??4cos?cos(?3??)cos(?3??).

tan3??3tan??tan?1?3tan?23?tan?tan(?3??)tan(?3??).

50.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k?????2,k?Z(A,ω,?为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T?.

51.正弦定理

asinA2?bsinB2?csinC?2R.

52.余弦定理

a?b?c?2bccosA; b?c?a?2cacosB;

222c?a?b?2abcosC. 222253.面积定理 （1）S?（2）S?1212aha?12bhb?112chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

1casinB.

absinC?12(3)S?OAB?22????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB). bcsinA?54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C2??2?A?B2?2C?2??2(A?B).

55. 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k??(?1)karcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).

tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).

特别地,有

sin??sin????k??(?1)?(k?Z).

k cos??cos????2k???(k?Z).

tan??tan????k???(k?Z).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.

sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z.

cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.

cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z. tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k??tanx?a(a?R)?x?(k???2),k?Z.

?2,k??arctana),k?Z.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式

x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). cos??2222x1?y1?x2?y264.平面两点间的距离公式

????d A,B=|AB|?????????AB?AB 2?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

265.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式

????????设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,?是实数，且P1P??PP2，则 x1??x2?????????x??????OP1??OP2?1???OP? ?1???y?y1??y2?1???????????????1?OP?tOP1?(1?t)OP2（t?）.

1??67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐

标是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).

68.点的平移公式

''???????????????x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP . ???''?y?y?k???y?y?k????'注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的

''''坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x?h,y?k).

(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为y?f(x?h)?k.

(3) 图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C'的函数解析式为y?f(x?h)?k.

(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为

. f(x?h,y?k)?0(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为?ABC（2）O为?ABC（3）O为?ABC（4）O为?ABC????2????2????2的外心?OA?OB?OC.

?????????????的重心?OA?OB?OC?0.

????????????????????????的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

?????????????的内心?aOA?bOB?cOC?0.

????????????的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.

（5）O为?ABC71.常用不等式：

（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0). （4）柯西不等式 22222(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R. （5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2（2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值

22p；

s.

214推广 已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.

（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2222?4ac?0，)如果a与

ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

74.含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

x?a?x?a22??a?x?a.

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