构造辅助圆 巧解中考压轴题--以陕西省及山东淄博市中考数学压轴

构造辅助圆 巧解中考压轴题

—以2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例

柯贤华 （陕西省洋县教研室）

关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果，还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。为此，下面遴选2014年陕西省及山东淄博市中考数学压轴题为例，对辅助圆的构造策略与方法作一介绍，以飨读者。

1 案例1及解法简析

1.1 题目展示 (2014年陕西中考数学第25题)

问题探究

（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点．当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长。 问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由。

图1 图2 图3 1.2 解法简析

本题第（1）问相对简单，这里分析第（2）（3）问。

（2）由条件“当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°”，动点Q对定线段EF所张的角为直角，因此联想到“直径所对的圆周角是直角”，以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长；

（3）要满足动点M对定线段AB所张的角∠AMB=60°，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM的长。

解 （1）略解。符合条件的等腰三角形如图4所示。

当AP=PD时，P在BC的中垂线上，BP=2。等腰△ADP′中，BP′=4-7；或等腰△ADP′′

1

中，BP′′=7，也符合题意。

综上所述，在等腰△APD中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA,则BP=4-7；若AP=AD, 则BP=7。

（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点， ∴EF∥BC，EF=

1BC=6。 2∵AD⊥BC，AD=6，

∴EF与BC之间的距离为3。 图4 以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC于Q，连接EQ、FQ，如图5。 ∴OQ=3=OE。

∴⊙O与BC相切，切点为Q． ∵EF为⊙O的直径， ∴∠EQF=90°。

过点E作EG⊥BC，垂足为G， ∴EG=3=OQ，且EG∥OQ 。 ∴四边形EOQG是正方形． ∴GQ=3 。

在Rt△EBG中，∠B=60°，EG=3， 图5 ∴BG=3。

∴BQ=GQ+BG=3+3。

（3）在CD上存在符合题意的点M 。 理由如下：

如图6，构造等边△ABG．作GP⊥AB于点P、AK⊥BG于点K，AK与GP交于点O，以O为圆心OA长为半径画圆，则⊙O为△ABG的外接圆，作OH⊥CD于点H．

在Rt△AOP中，AP=又知OH=285-1AB=135，OA=903，OP=453 。 2270=150 。 2而903＞150，

∴⊙O与CD相交．

记⊙O与CD的交点为M，连接OM、MA、MB 。 则∠AMB=∠AGB=60°。 ∵在Rt△OHM中，HM=OM2?OH2=

图6

?903?2?1502=302。

∴DM=400-453-302＜340，或DM=400-453+302＞340（舍去）。 ∴CD上符合题意的点M只有一个。 ∴点M就是符合要求的点。

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故DM=（400-453-302）m。

2 案例2及解法简析

2.1 题目展示(2014年山东淄博市中考数学第24题) 如图7，点A与点B的坐标分别是（1,0）， （5,0），点P是该直角坐标系内的一个动点。 （1）使∠APB=30°的点P有 个； （2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有， 求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明 理由。 图7 2.2 解法简析

（1）动点P对定线段AB所张的角∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个；

（2）根据（1）中的分析可知，当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标。

（3）由结论“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角”知，要使∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题。

解 （1）如图8，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC．以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2 。

在优弧AP1B上任取一点P，则∠APB=

11∠ACB=×60°=30° 。 22∴使∠APB=30°的点P有无数个 。

故答案为：无数 。

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图8 。 ∵点A（1,0），点B（5,0）， ∴OA=1，OB=5 。 ∴AB=4 。

∵点C为圆心，CG⊥AB， ∴AG=BG=

1AB=2 。 2∴OG=OA+AG=3 。 ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4 。

图8

∴CG=AC?AG=4?2=23。 ∴点C的坐标为（3,23）。

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2 。 ∵点C的坐标为（3,23）， ∴CD=3，OD=23 。

3

2222∵P1、P2是⊙C与y轴的交点， ∴∠AP1B=∠AP2B=30°。 ∵CP2=CA=4，CD=3， ∴DP2=42?32=7。 ∵点C为圆心，CD⊥P1P2， ∴P1D=P2D=7 。

∴P2（0, 23-7）,P1（0, 23+7）。

②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0, -23-7），P4（0,- 23+7）。 综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0, 23-7）、（0, 23+7）、（0, -23-7）、（0,- 23+7）。

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大。 ①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图9。 ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP。 ∵EH⊥AB，OP⊥OH， ∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°。 ∴四边形OPEH是矩形。 ∴OP=EH，PE=OH=3。 ∴EA=3。 ∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，

∴EH=EA2?AH2=32?22=5。 ∴OP=5。 ∴P（0,5）。

②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0,-5）。

理由：

ⅰ.若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图9所示。

∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB。 ∵∠APB=∠ANB， ∴∠APB＞∠AMB。

ⅱ.若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB。

图9

4

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为（0,5）和（0,-5）。

3 解题感悟

这两道中考压轴题考查知识点多，代数与几何等知识相互渗透，综合性非常强，难度大，涉及分类、转化、数形结合、数学建模等常用的数学思想，考查了学生创造性思维及操作、探究、分析问题等能力，可谓知识与能力齐驱，基本数学思想和基本活动经验联动，回归到了《课标（2011版）》对学生获得“四基”能力的目标要求，关注了学生的学习过程，能有效引领教师平时的数学教学。

关于动点对定线段所张的角为定值一类问题，当所张角是直角时，利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆——直角（或垂直）与直径有着密切关系，要善于把它们联系起来处理问题，即要见直角（或垂直）想直径，又要遇直径思垂直；当所张角是锐角（想一想为何不会是钝角）时，利用圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”或其推论“同弧所对的圆周角都相等”构造圆——把所张角转化为圆心角或圆周角，最主要的是利用圆心角或圆周角确定出动点的运动轨迹，化动为静，对满足条件的动点准确地定位，再解答。这也是解决此类题的切入点、通法，思考时通法优先是解压轴题的基本策略之一。

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