江苏省南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题(2)

6→→即向量EF与DG的夹角的余弦为，

6从而异面直线EF与DG所成角的余弦值为→→（2）DB＝(2，2，0)，DG＝ (1，2，2)．

设平面DBG的一个法向量为n1＝(x，y，z )．

6

． …………………… 7分 6

??→DB·n1＝2x＋2y＝0，

由题意，得 ?→

?DG·n1＝x＋2y＋2z＝0，?

取x＝2，可得y＝－2，z＝1．

所以n1＝(2，－2，1)． …………………… 11分 →又平面ABD的一个法向量n2＝DD1＝(0，0，2)， 21n1·n2所以cos＜n1，n2＞＝＝＝．

|n1||n2|3×23

1

因此 |cosθ|＝． …………………… 14分

3

17．（本题满分14分）

解（1）设圆锥OO1的高为h，母线长为l．

136

因为圆锥的体积为6π，即 πx2h＝6π，所以h＝2．…………………… 2分

3x

因此 l＝x＋h＝

2236

x＋(2)2，

x

2

从而S＝πxl＝πx

36

x＋(2)2＝π

x

2

54x4＋2，(x＞0)． …………………… 6分

x

54108

（2）令f(x)＝x4＋2，则f ′(x)＝4x3－3 ，(x＞0)． …………………… 8分

xx

由f ′(x)＝0，解得x＝3． …………………… 10分

当0＜x＜3时，f ′(x)＜0，即函数f(x)在区间(0，3)上单调递减；

当x＞3时，f ′(x)＞0，即函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增．

…………………… 12分

所以当x＝3时，f(x)取得极小值也是最小值．

答：当圆锥底面半径为3时，圆锥的侧面积最小． ……………………… 14分

18．（本题满分16分）

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