无穷乘积的收敛性(3)

由积分判别法可得下面的马尔可夫判别法：

定理 11（马尔可夫判别法） 设f(x)为单调减少的正值函数，

又设

exf(ex) xlim?? ???f(x)若??1，则函数?f(n)收敛；若??1，则级数?f(n)发散。

n?1n?1??exf(ex)??，故对任意的??0，总存在N?0，使证明：由于xlim???f(x)得当x?N 时，有exf(ex)?(???)f(x)

当??1时，取?使得??????1，则有exf(ex)??f(x)，于是，当

m?N时有

?mNef(e)dx???f(x)dx

xxNemNm即?ef(x)dx???Nf(x)dx，也即

(1??)?Nf(x)dx???f(x)dx???Nf(x)dxeNeemmemm???eNNf(x)dx???em

mf(x)dx由于N充分大且m?N，故m?em，又因f(x)?0，故

?

emm，从而 f(x)dx?0emeNeN(1???)Nfx(dx)???fxdx()?emeNf(x)dx??1???eN

Nfx(dx)固定N，让m???，取极限即得

???eNf(x)dx?1????eNNf(x)dx?常数

于是，由积分判别法知级数?f(n)收敛，

n?1? 11

当??1时，则取N为充分大，可得exf(ex)?f(x) (x?N)， 从而?Nef(e)dx??Nf(x)dx，即

xxmm?emeNemf(x)dx??f(x)dx 或?N??????N, 故

NemNemmemeNm?mf(x)dx??0eNNf(x)dx ?m?N?

1k今设e0?N?1,e1?ee,e2?ee,...,ek?1?ee,...,并分别取m?e0,e1,e2,...，则

???最后得

e2e1e3f(x)dx??f(x)dx??eNNeNf(x)dxf(x)dxe2N ...ek?1ek

f(x)dx??eNNf(x)dx...???0??e0f(x)dx?lim??n??k?1?ekek?1f(x)dx?limn?n??eNNf(x)dx???，

?即?ef(x)dx为发散的，并由积分判别法知级数?f(n)发散。

n?1 证毕

三 一般项级数的判别法

上面浅谈了正项级数的收敛判别法，接下来讨论一般项级数的收敛判别法，对于一般项级数，判断敛散性最本质的方法是Cauchy收敛原理:

定理12 （Cauchy收敛原理）级数 ?xn收敛的充分必要条件是：

n?1?对任意给定的??0，存在N ，使得

|xn?1?xn?2?...?xm|?|?xn|??

n?1?对一切 m?n?N 成立。

12

定义3 如果级数?xn??(?1)un(un?0)且?un?单调减少收

n?1??n?1n?1敛于0，则称此级数为Leibniz级数

由Cauchy收敛原理，可以得到：

定理13 Leibniz级数必定收敛

证明： |xn?1?xn?2?......?xn?p| =|un?1?un?2?......?(?1)p?1un?p| 当p是奇数时

un?1?un?2?......?(?1)n?1un?p

?(un?1?un?2)?(un?3?un?4)?......?un?p

?un?1?(un?2?un?3)?(un?4?un?5)?......?(un?p?1?un?p) 所以 0?un?1?un?2?......?(?1)n?1un?p?un?1 当p是偶数时

un?1?un?2?......?(?1)n?1un?p

?(un?1?un?2)?...?(un?p?1?un?p)

?un?1?(un?2?un?3)?...?un?p 因而成立

|xn?1?xn?2?......?xn?p|=|un?1?un?2?......?(?1)p?1un?p|?un?1 由成立

|xn?1?xn?2?......?xn?p|?un?1??

limun?0，???0,?N,?n?N:un?1??于是对于一切正整数p，

n??由定理 10 ， Leibniz级数必定收敛。

证毕 关于一般项级数的判别法还有Abel判别法和Dirichlet判别法：

13

定理 14 若下面两个条件之一满足，则级?anbn数收敛：

n?1?（1）（Able判别法）?an?单调有界，?bn收敛；

n?1?（2）（tehcliDri判别法）?an?单调趋于0，?bn有界。

n?1??证明：（1）若Abel判别法条件满足，设 an?M ，由于 ?bn 收

n?1n?p敛，成立???0,?N,?n?N 和p?N ，应用 Abel 引理，即得

n?p?k?n?1?bn?pk??，对

k?n?1?abkk

|

k?n?1?abkk|??(an?1?2an?p)?3M?

（2）若Abe判l别法条件满足，由于 liman?0 ，因此

n?????0,?N,?n?N：an??

设?bi?M。令Bk?i?1n?ki?1ni?n?1?b(k?1,2,...),则

inin?k Bk??b??bii?1?2M

应用Abel引理，同样可得

n?p|

k?n?1?abkk|?2M(an?1?2an?p)?6M?

对于一切n?N与一切正整数p成立 根据定理10 ，可知?anbn收敛。

n?1? 证毕 四 例题

?n!en例1 讨论无穷乘积??1?n?pnn?1???3的敛散性（）。 p??2? 14

?n!en解：根据定理2的推论1 ，无穷乘积??1?n?pnn?1????的敛散性与无穷级数??n!enn!en的敛散性是等价的，于是我们只需说明无穷级数?n?p的敛散性?n?pn?1nn?1n?即可，

n!enn?pn?pan1n?1??n????

an?1(n?1)!en?1e?n?(n?1)n?1?p由于

1?n?1????an?e?n?limn??1??limn??1?an?1?n??nn?p?1

1?p?ln(1?x)11??p?x?xe?1?1?x??1ee ?lim?limx?0x?0xx?1?11?(p?2)x??(x)e?11e?lim?p?

x?0x21由Raabe判别法知

?n!en13当p??1即p?时，级数?n?p收敛

22n?1n?n!en所以无穷乘积??1?n?pnn?1????收敛， ?????1例2 讨论无穷乘积??1??的敛散性。 1n?1?ln2(sin)?n???????1解： 根据定理2推论1，无穷乘积??1??的敛散性与12n?1?ln(sin)?n??? 15

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