空间向量与立体几何复习题（二）

期中复习题（二）

一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形

?????2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达中错误的一个是（ ） ??????????????Ａ．AA1?A1B1?A1D1 ???????????????Ｃ．AD?CC1?D1C1

33 Ｄ．arccos 36·(b?c)?c·(b?a)?b·c； 12．给出下列命题：①已知a?b，则aＡ．60° Ｂ．90° Ｃ．arccos?????????????A，B，M，N②为空间四点，若BA，BM，BN不构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；

③已知a?b，则a，b与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若a，b共线，则a，b所在直线或者平行或者重合．

正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

·a?9，c·b??4，，，，5)b?(1，2，?3)，二、填空题13．已知a?(31向量c与z轴垂直，且满足c则c? ． ????1????2????????14．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP?OA?OB??OC确定的点P53与A，B，C共面，那么?? ．

15．已知线段AB?面?，BC??，CD?BC，DF?面?于点F，?DCF?30°，且D，A在平面?的同侧，若AB?BC?CD?2，则AD的长为 ．

16．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ．

三、解答题

i?j?ka，2?i?j3?k2a，??2j?ka3?i，j?2k517．设a1?2，试问是否存在实数?，?，?，3i?4?3使a4??a1??a2??a3成立？如果存在，求出?，?，?；如果不存在，请写出证明．

18．如图2，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．

?ACB?90°，19．如图3，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，

侧棱AA1?2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离．

???????????????Ｂ．AB?DD1?D1C1

???????????1????Ｄ．(AB1?CD1)?AC11

23．若a，b，c为任意向量，m?R，下列等式不一定成立的是（ ）

)c?a·c?b·c Ａ．(a?b)?c?a?(b?c) Ｂ．(a?b··b·)c?a·(b·c) Ｃ．m(a?b)?ma?mb Ｄ．(a????????????4．若三点A，B，C共线，P为空间任意一点，且PA??PB??PC，则???的值为（ ） Ａ．1

Ｂ．?1

Ｃ．

1 2Ｄ．?2

4，，3)b?(3，2，z)，且a∥b，则xz等于（ ）Ａ．?4 Ｂ．9 Ｃ．?9 Ｄ．5．设a?(x，64 9????????????6．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB?e1?e2，AC?2e2?8e2，AD?3e1?3e2，则四点A，B，C，D（ ）Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 7．如图1，空间四边形ABCD的四条边及对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则a2等于（ ）

????????·AC Ａ．2BA????????·BD Ｂ．2AD????????·CA Ｃ．2FG2????????·CB Ｄ．2EFe?de?e1?2e2?3e3，且，

eb?1e?2e，?3ec?1e?8．若a?e1?e2?，3d?xa?yb?z，则cx，y，z的值分别为（ ）

51Ａ．，?，?1

22

51Ｂ．，，?1

22

51Ｃ．?，，?1

2251Ｄ．，，1

22

8，?，2)与b?(2，?1，2)的夹角的余弦值为，则??（ ） 9．若向量a?(1922 Ｄ．2或? 55551，，3)B(2，?51)，，C(3，7，?5)，则顶点D的坐标为（ ） 10．已知ABCD为平行四边形，且A(4，Ａ．2

Ｂ．?2

Ｃ．?2或

?7?4，?1? 141) 13?3) 41)， Ａ．?，Ｂ．(2，Ｃ．(?2，， Ｄ．(5，，?2?11．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，则C1O与A1D所成角的（ ）

P，Q分别是BC，CD上的动点，20．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，且PQ?2，确定P，Q24．如图，在长方体ABCD?A,AB?2，点E在棱AD上移动. 1BC11D1，中，AD?AA1?1（1）证明：D1E?A（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何1D；

值时，二面角D1?EC?D的大小为

的位置，使QB1?PD1．

21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，?ABC?90°，SA?面ABCD，

?. 4

SA?AB?BC?1，AD?1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值． 2AB?侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，25．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，

22．平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且?C1CB??C1CD??BCD，试问：当

CDA1C?面C1BD？的值为多少时，

CC1AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1?EA?EB1，已知

?3，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A?EB1?A1平面角

的正切值.

26．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一点，PF?EC. 已知PD?请予以证明．

23．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1. （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.

2,CD?2,AE?1, 2求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离； （Ⅱ）二面角E?PC?D的大小.

????????·BD?0，得a?1， 由GE?BD?GE参考答案

一、ABDBB CBACD DC

2221??，0? 二、13． ??，?55?0，，2)A(2，0，，0)E(111)，，． 则A1(2，0)， 自A1作A1H?面AED于M，并延长交xOy面于H，设H(x，y，?????则A1H?(x?2，y，?2)．

????????又AD?(?2，，，． 01)，，AE?(?111)，?AH?AD，??2(x?2)?2?0，?x?1，，0)． 由?1得H(11????AH?AE?(x?2)?y?2?0y?1，???1??????????????????426·cosA1A，A1H?2??又A1M?A1A． ·cosA1A，A1M?A1A32614．

2 15

15． 22 16．

6 4三、解答题

17．解：假设a4??a1??a2??a3成立． ∵a1?(2，?11)，，a2?(1，3，?2)，a3?(?2，1，?3)，a4?(3，2，5)， ∴(2????2?，???3???，??2??3?)?(3，2，5)． ?2????2??3，????2，??∴????3????2，， 解得???1???2??3??5，????3．??，v??3使得a4??2a1?a2?3a3． 所以存在???2，??120． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP?t， 得CQ?2?(2?t)2，DQ?2?2?(2?t)2．

那么B1(2，0，，2)D1(0，2，，2)P(2，，，t0)Q(2?2?(2?t)2，2，0)，

??????????从而QB1?(2?(2?t)2，2?t，2)， ?2，2)，PD1?(?2，??????????由QB1?PD1?QB1·PD1?0，

理由即为解答过程．

18．解：建立如图所示的空间直角坐标系，

??3a则A(0，0，，0)B(0，a，，0)A1(0，0，2a)，C1??a，，2a??22?．

??，0，0)是面ABB1A1的法向量， 由于n?(?1即?22?(2?t)2?2(2?t)?4?0?t?1． 故P，Q分别为BC，CD的中点时，QB1?PD1．

21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，

?1?0，，0)B(?1，0，，0)C(?11，，，0)D?0，，0?，S(0，0，1)． 则A(0，?2?，0，0)， 延长CD交x轴于点F，易得F(1作AE?SF于点E，连结DE，

则?DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角．

?11?0，?， 又由于SA?AF且SA?AF，得E?，22???????1??111?1????0，??，ED???，，??， 那么EA???，2??2?222?????????????????EA·ED6从而cosEA， ，ED??????????3EAED

3?????a??????????AC1·n12cosAC1，n????????AC1，n?60°． ?3a2AC1n故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．

19．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA?2a，

?2a2a1?则A(2a，0，，0)B(0，2a，，0)D(0，0，，1)A1(2a，0，，2)E(a，a，，1)G?，，?．

?333?

?????aa2?????BD?(0，?2a，1)． 从而GE??，，?，333??

????????tanEAF，ED?2． 22． 2故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为?x?1,?4y?1?0,?即???1 ??2x?2?0,?y??.4?

?C1D，且AC?C1B． 22． 解：欲使A1C?面C1BD，只须AC11??????????C1D，只须证CA1欲证AC·C1D?0， 1?????????????????即(CA?AA1·)(CD?CC1)?0，

??????????????????????也就是(CD?CB?CC1·)(CD?CC1)?0，

????2?????2?????????????????即CD?CC1?CBCDcos?BCD?CBCC1cos?C1CB?0．

又CC1?(0,0,3),设CC1与n1的夹角为?，则 cos??CC1?n1|CC1|?|n1|?33?1?1?116?433. 33

∴C到平面AEC1F的距离为

由于?C1CB??BCD，

?????????显然，当CD?CC1时，上式成立；

d?|CC1|cos??3?24．

433433?. 3311??????????C1B． 同理可得，当CD?CC1时，AC1因此，当

CD?1时，A1C?面C1BD． CC123．解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)

解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE?x，则A,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0) 1(1（1）因为DA,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E. 1,D1E?(1（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z).

∵AEC1F为平行四边形，

?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2).?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，

??n?AC?0, AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则???n?AD1?0,??a?2b?0?a?2b也即?，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为

??a?c?0?a?ch?|D1E?n||n|?2?1?21?. 33显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1) ??n1?AE?0,?0?x?4?y?1?0由?得?

?2?x?0?y?2?0??n1?AF?0,?（3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)，∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),

??n?D1C?0,?2b?c?0 令b?1,?c?2,a?2?x， ?????a?b(x?2)?0.?n?CE?0,∴n?(2?x,1,2). 依题意cos则|BE|?31??1，故异面直线AB,EB1的距离为1. 44（II）由已知有EA?EB1,B1A1?EB1,故二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量

?4?|n?DD1||n|?|DD1|?2?22(x?2)2?5?2. 2B1A1与EA的夹角.

因B1A1?BA?(0,0,2),EA?(?故cos??即tan??EA?B1A1|EA||B1A1|2.2?23,31,?,2),22

∴x1?2?3（不合，舍去），x2?2?3 .

?∴AE?2?3时，二面角D1?EC?D的大小为.

425．解：（I）以B为原点，BB1、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系.

由于，AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3

26．解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DP分别为

x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0)

在三棱柱ABC?A1B1C1中有

B(0,0,0),A(0,0,2),B1(0,2,0),C(3133,?,0),C1(,,0) 2222设A(x,0,0)(x?0),则B(x,2,0),

设E(3,a,0),由EA?EB1,得EA?EB1?0,即 233,?a,2)?(?,2?a,0) 22113E(x,,0),PE?(x,,?2),CE?(x,?,0). 由PE?CE得PE?CE?0，

222即x?2

0?(?313333?0,故x?. 由DE?CE?(,,0)?(,?,0)?0得DE?CE，

222242又PD?DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|?1，故异面直线

?33?a(a?2)?a2?2a?, 44PD,CE的距离为1.

（Ⅱ）作DG?PC，可设G(0,y,z).由DG?PC?0得(0,y,z)?(0,2,?2)?0

131331得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),故E(,,0)222222

313333BE?EB1?(,,0)?(???0)????0,即BE?EB1.222244又AB?侧面BB1C1C，故AB?BE. 因此BE是异面直线AB,EB1的公垂线，

即z?2y,故可取DG?(0,1,2),作EF?PC于F，设F(0,m,n)，

31,m?,n). 2231,m?,n)?(0,2,?2)?0,即2m?1?2n?0， 22则EF?(?由EF?PC?0得(?F在PC上得n??22312m?2,故m?1,n?,EF?(?,,). 22222因EF?PC,DG?PC,故E?PC?D的平面角?的大小为向量EF与DG的夹角. 二面角E?PC?D的大小为

π。 4

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