重庆大学高数（下）期末试题二（含答案）

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重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷

20 — 20 学年 第 学期

y?C1?2C2x?3C3x2,其中C1,C2,C3为独立的任意常数,则该方程

为().

命题人: 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:

(A)y????y?0 (B) y????3y??0 (C)y????y?0 (D) y????0

考试方式：组题人 密 名姓 弊 作 绝 拒 、 纪 号考学肃严 、 信 守 实 级诚封年、 争 竞 平 公 班、业专 线 院学

考试时间: 120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 得 分 答案: (D)

分析:由通解中的三个独立解1,x,x2 知,方程对应的特征方

考试提示 程的特征根为?1??2??3?0.因此对应的特征方程是?3?0.于1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 是对应的微分方程应是y????0.故应选(D). 2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他 人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍. 3. 设D由

14?x2?y2?1确定.若I1221???22d?,I2?(x?y)d?,Dx?y??D I23???ln(x2?y)d?,则I1,I2,I3之间的大小顺序为().

D一、选择题(每小题3分,共18分)

(A)I1?I2?I3 (B)I1?I3?I2 1. 设向量a与三轴正向夹角依次为?,?,?,则当cos??0时有 (C)I2?I3?I1 (D)I3?I2?I1 ().

(A) a?xoy面 (B) a//xoz面 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. (C) a?yoz面 (D) a?xoz面 答案:(D)

知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 分析:积分区域D由

14?x2?y2?1确定.在D内,答案: (B)

ln(x2?y2)?x2?y2?1分析:x2?y2,故I3?I2?I1.只有D符合. cos??0,???2,a垂直于y轴,a//xoz面.

4．设曲线L是由A(a,0)到O(0,0)的上半圆周x2?y2?ax,则曲线积分

2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为

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: 审题人: 命题时间: 教务处制

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xx(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy?(?L).

知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)

分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有

2??xdS??m?a2m?a2m?a2

(A)0 (B) (C) (D)

284

知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)

分析:补充直线段L1:y?0(x:0?a),则L?L1为封闭曲线在上使用格林公式可得

11242222(x?y?z)dS?R?4?R??R4.??3?33利用上述结论所求I为

3x2dS.故选??8?C.

二、填空题(每小题3分,共18分)

nn2n7. 幂级数?x的收敛半径为__________.

n?1n!?L?L1????mdxdy?Dm2?a,而??0.选2L1B.

5. 已知向量a?2m?3n,则垂直于a且同时垂直于y轴的单位向量

e?().

33(i?j?k) (B) ?(i?j?k) 3322(C) ?(i?k) (D) ?(i?k)

22知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案:分析:

1e (A) ?(n?1)n?1`2n?2x(n?1)n21 (n?1)!2lim?limx?ex?1?x?.n??n??nn2nnnexn!知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量

228. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是(a,b,c),此平面的方程为

__________.

ij1101k1??i?k0垂直于a且同时垂直于y轴,其模为

. 2222x2y26. 设?为球面x?y?z?R,则I???(?)dS?(84?4?R5?R4(A)4?R (B) (C) (D)4?R

522).

知识点:平面方程,难度等级:1.

答案:2x?3y?z?12?0.

分析:该平面的法向量为2x?2y?z?35?0,且过点2x?2y?z?35?0,则其平面的方程2x?3y?z?12?0.

x2y29. 设L为椭圆??1,其周长记为a,则求?(2xy?4x2?3y2)ds

34L?__________.

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知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12a.

10. 设区域D为x2?y2?R2,则??(R?y)dxdy?__________.

D12. 设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,则I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy?__________.

?知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:

12?. 5知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:?R3.

分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.

分析: 由高斯公式,

I????3(x2?y2?z2)dV?3?d??d??r4sin?dr??0002??112. 5

三、计算题(每小题6分,共24分)

13. 求初值问题??ydy?(2x?y)dx的解.

?y|x?2?1?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy?__________,其中L为抛物线

22x??y上由(0,0)到(,1)的一段弧.

2?知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换u?变量的微分方程. 解:将方程改写为

y化为可分离x知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2 答案:

?24.

解: P?2xy3?y2cosx,Q?1?2ysinx?3x2y2,

??Q?P?6xy2?2ycosx?. ?x?ydy2x?y?. dxy322?ycosx)d?x?(12ys?ixn2x3与积分路径无关yd)y ??L(2xy.

这是齐次方程.

令y?xu,则

dydu?u?x. dxdx???取L为由(0,0),(,0),(,1)组成的折线,则

22322?2?L(2xy?ycosx)dx?(1?2ysinx?3xy)dy?0??0(1?2y?4?y)dy?4.

32221代入上式得

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u?xdudx?2u?1. 这是变量分离方程,且有u(2)?y(2)2?12. 积分得

x?213ln|u?2|?3ln|1?u|?C?0. 代入初值可解得C??2?ln32.

故原方程的特解为x?23ln|yx?2|?1y33ln|1?x|?2?ln2?0.

14. 求级数??1(4n)!的和. n?1知识点:级数和,难度等级:3

分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导

解: ??xn?ex,x?R.

n?0n!???(?1)nxn?e?x,x?R.n?0n!

???x2nexn?0(2n)!??e?x2,x?R.

又 ??(?1)nx2n?cosx,x?R. n?0(2n)!ex?e?x???x4n?2?cosx,x?R.n?0(4n)!2 e1?e?1????1)!?2cos1.

n?1(4n215. 计算?ydx?xdyL2(x2?y2),其中L为圆周(x?1)2?y2?2,L的方向为逆时针方向.

知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.

分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.

解:当(x,y)?(0,0)时,?Px2?y2?Q?y?2(x2?y2)2??x.

作小圆C:x2?y2??2,取逆时针方向,则

?ydx?xdyL2(x2?y2?ydx?xdy)?C2(x2?y2)?12?2?Cydx?xdy?12?2???2dxdy???.

x2?y2??216. 求力F?(y,z,x)沿有向闭曲线L所作的功,其中L为平面

x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z轴正向

看去,顺时针方向.

知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.

分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲

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线积分用格林公式.

解: 用斯托克斯公式,取?为平面x?y?z?1的下侧被L所围的?2u分析:u?yxf(z)对x求二阶偏导数得2,但其中会

?x部分,?下侧的单位法向量为13(?1,?1,?1). 力F所做的功为

W??Lydx?zdy?xdz

?13?13?13?????x??y??zdS ?yzx????3dS?3?32 ?32.

四、解答题(每小题6分,共12分)

17．设u?yxf(z),其中f(z)二阶可导,z?z(x,y)由方程

x?2y?lnz?1?0

所确定,求?2u?x2.

知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 包含z对x的二阶偏导数?2z?x2.x?2y?lnz?1?0两边对x两次求偏导数,可求出?2z?x2.

解:

?u?x?yf(z)?xyf?(z)?z?x, ?2u?z?z22?z?x2?2yf?(z)?x?xyf??(z)(?x)?xyf?(z)?x2,

?z

?x?11?z,z ?2z??x2?z?x?z,

?2u?x2?2yzf?(z)?xyz2f??(z)?xyzf?(z). 18. 计算曲面积分??33?(x?az2)dydz?(y?ax2)dzdx?(3z?ay2)dxdy,其中?为上半球面z?a2?x2?y2上侧.

知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.

解: 设S:??x2?y2?a2?z?0,取下侧,则?与S围成的区域为?,S在xoy面的投影区域为D.于是

I???3??S(x?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy

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