第三节 格林公式及应用
3.1 学习目标
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.
3.2 内容提要
1.格林公式
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P?x,y?,Q?x,y?在D内具有一阶连续偏导数，则有
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy， ???L???x?y?D?其中L是D的取正向的边界曲线．
【注】（1）格林公式揭示了二重积分与曲线积分的联系． （2）D可以是复连通区域．
（3）L为正向的封闭曲线，P?x,y?,Q?x,y?在D内具有一阶连续偏导数，两者缺一不可．在利用格林公式计算曲线积分时，若L不封闭，则考虑适当补边使之封闭；若在D内函数有奇点，应考虑将奇点挖掉．
（4）当P??y,Q?x时，可求出封闭曲线所围区域的面积
A?1xdy?ydx ??L22.平面上曲线积分与路径无关的条件
设区域G是一个单连通域，函数P?x,y?,Q?x,y?在区域G内具有一阶连续的偏导数，则曲线积分要条件是
?Pdx?Qdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
L?Q?P? ?x?y在G内恒成立．
【注】若曲线积分与路径无关，在进行曲线积分的计算时，可以在G内选择简单路径，选择折线是常用的方法．
3.二元函数的全微分求积
设区域G是一个单连通域，函数P?x,y?,Q?x,y?在区域G内具有一阶连续的偏导数，则P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是
?Q?P ??x?y在G内恒成立．
(x,y)xyu(x,y)??或
(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y0)dx??Q(x,y)dy
x0y0yxu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx．
y0x0其中M0(x0,y0)是区域G内适当选定的一点．
【注】设区域G是一个单连通域，函数P?x,y?,Q?x,y?在区域G内具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价：
命题1 曲线积分
?Pdx?Qdy在G内与路径无关；
L命题2 在G内任意一条闭曲线L，有
?Pdx?Qdy=0；
L命题3 表达式P?x,y?dx?Q?x,y?dy在G内是某个二元函数的全微分，即存在
u?x,y?使得du?P?x,y?dx?Q?x,y?dy；
命题4
?Q?P?在G内每一点处成立． ?x?yL4.计算
?Pdx?Qdy的一般步骤
?Q?P?， ?x?y（1）首先验证是否
（2）若
?Q?P?，考察L是否封闭，若封闭用格林公式； ?x?y??x???t?,???t???求， 若不封闭取参数?y??t,????（3）若来求．
?Q?P?，也考察L是否封闭，若封闭结果为0；若不封闭，用折线或用补线?x?y
3.3 典型例题与方法
基本题型I：利用格林公式求第二类曲线积分 例1 填空题
x22(1)设f(x,y)在D:?y?1内具有连续的二阶偏导数，C为顺时针方向的椭圆
4x2?y2?1，则??C[?3y?fx'(x,y)]dx?fy'(x,y)dy?________． 4???2?2F??xyi?xyj作用下沿圆周x2?y2?a2的顺时针方向运动一周，(2)设质点在力则力
??F所作的功W?________．
解 （1）由格林公式，注意到曲线C为顺时针方向，得
??[?3y?f'(x,y)]dx?f'(x,y)dy????[f\x,y)?f''(x,y)?3]d???3??d???6?
CxyyxxyDD故应填?6?．
222（2）设曲线C:x?y?a围成的区域为D，则
2?a1422223W???xydx?xydy??(x?y)dxdy??d??d????a ?C????002D14故应填??a．
2例2 选择题
22（1）设曲线C为椭圆4x?y?1，并取正向，则曲线积分??C?ydx?xdy等于（ ）.
4x2?y2（A）0；（B）2?；（C）??；（D）?． （2）已知
?x?ay?dx?ydy是某函数的全微分，则a等于（ ）. 2?x?y?（A）?1；（B）0；（C）?2；（D）2．
22解 （1）因为4x?y?1，代入得
?ydx?xdy2dxdy??． ??C4x2?y2???C?ydx?xdy???D故选（D）．
（2）P(x,y)?x?ay?x?y?,Q(x,y)?2y?x?y?2,
于是
?P(a?2)x?ay?Q2y?,??,33 ?y?x?x?y??x?y??P?Q?由可得a?2，故选（D）． ?y?xx2y2例 3 计算??x?y?dx??x?y?dy，其中L为椭圆线2?2?1的正向.
Lab【分析】 L为封闭光滑曲线取正向，符合格林公式的条件，可用格林公式进行计算. 解
??x?y?dx??x?y?dy=????1?1?dxdy??2??dxdy??2?ab，
LDDx2y2其中D为椭圆域2?2?1.
ab例4 计算
??x?y?dx??x?y?dyx?y22L，其中L为圆x2?y2?a2的正向.
【分析】此题可直接用公式x?acost,y?asint,0?t?2?计算.也可用积分曲线方程化简被积函数，再用格林公式计算．下面给出后一种解法.
解
??L?x?y?dx??x?y?dy?x2?y21a2??L?x?y?dx??x?y?dy
a2
?????1?1?d?D??2?a2??2?. 2a222【方法点击】该题不能直接利用格林公式计算，因为被积函数在D:x?y?a内不满足具有一阶连续偏导数的条件，但由曲线L的方程化简被积函数后，就满足了格林公式的条件，可再用格林公式计算.
例5 计算
3x2x?是半圆弧. (ye?my)dx?(3ye?m)dy,C为从E到F再到G,FG?C
y
F(2,1)
o E(1,0) G(3,0) x
图3-1
【分析】 显然C为从E到G的分段光滑曲线，可以直接化为定积分进行计算，但计算较复杂．如果补边GE，则可成为封闭曲线，利用格林公式计算后再减去GE上的积分，可得所求积分值．但要注意曲线的方向．
?P?Q?3y2ex?m,?3y2ex , 解 P?ye?my,Q?3ye?m,?y?x3x2x?Q?P??m.添加直线GE,利用格林公式得， ?x?y?C(y3ex?my)dy?(3y2ex?m)dy+?pdx?Qdy??GEmdxdy??m(1?)． ??4D??所以,
?C(y3ex?my)dy?(3y2ex?m)dy=?(1??)m-?GEpdx?Qdy=?m(1?).
44【方法点击】补边是利用格林公式解决非封闭曲线积分的重要方法，但须满足格林公式
的条件．
例 6 计算段.
2L?ydx?xdy，其中沿曲线自点?2,0?到?0,0?的有向弧y?2x?x?Ly 图3-2 o x
【分析】本题可利用L的方程直接求解，得到解法一．还可以通过补边，使其满足格林公式的条件，再利用格林公式计算.
解法一 如图3-2所示，L的方程y?2x?x2, dy?0?1?x2??ydx?xdy??2x?x?x??L?2?2x?x2?1?x2x?x2dx，
故
??dx??. ??解法二 补线 L1:?由格林公式
?0?x?2（方向与x轴的方向一致），L1与曲线L围成闭区域D， y?0???ydx?xdy??LL?L1?ydx?xdy???ydx?xdy
L1而
??Q?P???ydx?xdy??L?L1????x??y??dxdy?2??dxdy??.
?D?D 从而
?L1?ydx?xdy?0.
??ydx?xdy??.
L
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