《一元二次方程》复习提纲
一，知识结构梳理
1、概念
（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为x?m)2?n?n?0? ? 的一元二次方程。
（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，
一 元 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 二（3） 法 次 方（4） 法，其中求根公式是 程（5） 法 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （6） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6）
二，知识点归类
（一）建立一元二次方程模型 1， 一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？
222?3；⑵x2?6x?0；⑴2（3）x?x?5；（4）?x?0；（5）2x(x?3)?2x?1
x?5答案：（2），（4）
2， 一元二次方程的一般形式
2一元二次方程的一般形式为ax?bx?c?0（a，b，c是已知数，a?0）。其中a，b，c分别
1
叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化
为一般形式。
2（3）形如ax?bx?c?0不一定是一元二次方程，当且仅当a?0时是一元二次方程。
例：(2012广安中考试题第8题，3分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<-2 思路导引：一元二次方程有两个不相等的实数根，由于二次项系数是字母的代数式形式，注意两点，
一是二次项系数不等于0，二是根的判别式大于0 解析：△=4－4(a－1)×1=8－4a＞0，所以a＜2，结果选 C。
点评：含有字母二次项系数的一元二次方程根的判别问题，不可忽视二次项系数不为0 这一条件，
以免得出不和题意的答案
3， 一元二次方程的解
2 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x?2时，x?3x?2?0所
以x?2是x?3x?2?0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
例．（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x+x+1=0的一个根，则m的值是（ ） A． 1
B． ﹣1
C． 0
D．无法确定
2
2考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
解：根据题意，将x = 1 代人到方程中得：（m﹣1）+1+1 =0，
解得：m =﹣1．
故选B．
4， 建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例：（2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 . 【解析】由题意得（22-x）(17-x)=300. 【答案】（22-x）(17-x)=300
【点评】本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别 平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个 长方形，根据长方形的面积公式列方程．
2
（二） 因式分解法、直接开平方法 1， 因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
例．（2012铜仁）一元二次方程x?2x?3?0的解是 ． 考点：解一元二次方程-因式分解法。 解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=﹣1．
2， 直接开平方法解一元二次方程
若x?a?a?0?，则x叫做a的平方根，表示为x??a，这种解一元二次方程的方法
22叫做直接开平方法。
（1）x?a?a?0?的解是x??a；（2）?x?m??n?n?0?的解是x??n?m；
22（3）?mx?n??cm?0,且c?0的解是x?22
???c?n。
m例： （2011山东淄博14，4分））方程x﹣2=0的根是 ．
2
分析：这个式子先移项，变成x=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可．
2
解：移项得x=2，
∴x=?2．
故答案为：?2．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到
2
等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3， 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如?ax?b??k?0?k?0?的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。
2例（2011，台湾省，29,5分）若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ） A、1 B、8 C、16 D、61
分析：利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可． 解： （3x﹣c）2﹣60=0 （3x﹣c）2=60
3
3x﹣c=± 3x=c± x=＞7．
又两根均为正数，且
所以整数c的最小值为8故选B．
点评：本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．
4， 用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 例 （2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为 ．
分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可． 解： x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0或 x﹣2=0， x1=0 或x2=2．
注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。
5.十字相乘法： p 对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉 x 帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。 q x 2 2pq x px＋qx=(p＋q)x 即：x ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
2 例1 分解因式x －6x＋8
－x
解：x 2－6x＋8x
=(x－2)(x－4)－4x－2x=－6
2－3 x 例2分解因式3x －10x＋3
3x －1 2解：3x －10x＋3－9x－x=－10x
－3)(3x－1)
例3分解因式5x 2－17x－122解：5x －17x－12=(5x＋3)(x－4)4
5x＋3
例4 分解因式
2 2(6x 2＋x)－11(6x 2＋x) ＋5
22解：2(6x 2＋x)－11(6x ＋x) ＋5
= [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )1 2= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )例5. （2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________． 分析：先把方程两边同时除以2，化为（x＋3）（x－
－52－11）＝0的形式，再求出x的值即可．
－1－10=－112611）＝0， 21故x1＝－3，x2＝．
21故答案为：x1??3，x2?
2解：原方程可化为：（x＋3）（x－
（三）配方法 1， 配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程x2?px?q?0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
例. （2012湖北荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（ ） A．（x﹣1）=4 B．（x+1）=4 C．（x﹣1）=16 D．（x+1）=16 解：把方程x﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x﹣2x = 3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x﹣2x + 1 = 3 + 1，
配方得（x﹣1）=4．
故选A．
2， 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为?x?m??n的形式。
22
2
2
2
2
2
2
2
2
－5＋6=1（3） 若n?0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。
5
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库《一元二次方程》复习提纲在线全文阅读。
相关推荐：