布莱克斯科尔斯 期权定价 模型的拓展(2)

当标的物以年红利率q支付连续红利时，定价公式： 看涨期权 看跌期权

这里

c0?S0e?qTN(d1)?Ke?rTN(d2)

p0?Ke?rTN(?d2)?S0e?qTN(?d1)

ln??d1??S0???r?q?TfK?1???T

2?Td2?d1??T。

欧式股指期权、外汇期权和期货期权都是这种条件下的特例。

对股指期权

对外汇期权

对期货期权 Derivative Call option Put option ?c?? ?S?2c?? 2?S?c?? ?te?qTN(d1) 1S?T?e?qT?N(d1)?1? 1e?qTN?(d1) ?qSN(?d1)e?qTe?qTN?(d1) ?qSN(d1)e?qTS?T?SN?(d1)?e?qTSN?(d1)?e?qT2T?rKe?rTN?d2?V??c ???c?? ?r S?TN?(d1)e?qT S?TN?(d1)e?qT 2T?rKe?rTN??d2? S?TN?(d1)e?qT S?TN?(d1)e?qT

例子：

注：证券组合的希腊字母的大小等于证券的希腊字母的加权和。 例子：

假设?表示由标的物相同的衍生证券构成的证券组合的值。一般来说，它是标的证券的价格、到期日、标的证券价格的波幅和利率的函数。当这些参数发生变化时，证券组合的值会发生变化。为了刻画参数变化与证券组合值变化之间的关系，我们利用Taylor展式

??????1?2?1?2?22????d??dS?d??dt?dS?d???

?S???t2?S22??212 =?dS?Vd???dt???dS???

2在忽略高阶项的前提下，控制风险的目的就是使得?、V和?充分小。

5.1 Deta hedging

例子：

注：1）Deta neutral：A position with a deta of zero is referred to as being deta neutral.

2）Rebalancing: Because deta changes, the investor’s position remains deta hedged (or deta neutral) for only a relatively short period of time. The hedge has to be adjusted periodically. This is known as rebalancing.

例子：Dynamic hedging scheme

欧式期权的Deta

远期合约的Deta

交易成本

5.2 Theta

Theta is not the same type of hedge parameter as delta. There is uncertainty about the future stock price, but there is no uncertainty bout the passage of time. It makes sense to hedge against changes in the price of the underlying asset, but it does not make any sense to hedge against the effect of the passage of time on an option portfolio.

5.3 Gamma 如果Gamma值很小，则deta值变化慢，为了保证证券组合deta中性所要求的调整频率相对要低。但是，如果Gamma的绝对值很大，则deta值对标的物价格变化的敏感度就很高，为了保证证券组合deta中性所要求的调整频率相对要高。如下图。Gamma值度量曲率。

Gamma中性 标的物自身或者远期合约的Gamma值为0，所以不能用来改变证券组合的Gamma值。为了调整证券组合的Gamma值，我们利用的衍生证券的价格不能是标的资产的线性函数。 假设deta中性的证券组合的Gamma值为?，一个交易的期权的Gamma值为?T，则为了使得证券组合是Gamma中性的，需要买入期权的份数是???T。这时，新证券组

合不是deta中性的，需要调整标的资产的头寸来使得新证券组合变为deta中性。

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