[推荐学习]高中数学第1章直线多边形圆1.2.1圆周角定理学案北师大

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§2.圆与直线 2.1 圆周角定理

1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.

2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.

[基础·初探]

教材整理1 圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.

︵︵︵

1.△ABC内接于⊙O，且AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________.

︵︵︵

【解析】 ∵AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，

︵︵︵

∴AB的度数为90°，BC的度数为120°，CA的度数为150°， ∴∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°. 【答案】 60° 75° 45° 教材整理2 圆周角定理的两个推论

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆.

︵︵

2.如图1-2-1，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，AD＝CD，则∠DAC的度数是( )

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图1-2-1

A.30° C.45°

【解析】 ∵∠BAC＝20°， ︵

∴BC的度数为40°， ︵

∴AC的度数为140°. ︵︵∵AD＝CD， ︵

∴CD的度数为70°. ∴∠DAC＝35°. 【答案】 B

3.如图1-2-2，A，B，C是⊙O的圆周上三点，若∠BOC＝3∠BOA，则∠CAB是∠ACB的________倍.

【导学号：96990014】

B.35° D.70°

图1-2-2

11

【解析】 ∵∠ACB＝∠AOB，∠CAB＝∠BOC，

22又∵∠BOC＝3∠BOA， ∴∠CAB＝3∠ACB. 【答案】 3

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

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[小组合作型]

与圆周角定理相关的证明 如图1-2-3，已知：△ABC内接于⊙O，D，E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.

图1-2-3

求证：AB＝AC.

【精彩点拨】 证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件.

【自主解答】 延长AD，AE，分别交⊙O于F，G，连接BF，CG， ︵︵

∵∠1＝∠2，∴BF＝CG， ︵︵

∴BF＝CG，BG＝CF， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE， ︵︵

∴∠F＝∠G，AB＝AC， ∴AB＝AC.

1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.

2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.

[再练一题]

1.如图1-2-4，△ABC内接于⊙O，高AD，BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：

BF＝BH.

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图1-2-4

【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AHE＝∠C.

∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.

直径所对的圆周角 如图1-2-5，AB是半圆的直径，AC为弦，且AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积.

图1-2-5

【精彩点拨】 由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.

【自主解答】 ∵AB是半圆的直径， ∴∠C＝90°. ∵AC∶BC＝4∶3， ∴可设AC＝4x，BC＝3x. 又∵AB＝10， ∴16x＋9x＝100， ∴x＝2，

∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC， ∴OD∥BC，

∴AD＝4 cm，OD＝3 cm. ∴S四边形OBCD＝S△ABC－S△AOD

112

＝×6×8－×3×4＝24－6＝18(cm). 22

2

2

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1.解答本题时利用AC∶BC＝4∶3，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定理可求出AC与BC的长度.

2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.

[再练一题]

2.如图1-2-6，AB是⊙O的直径，AB＝2 cm，点C在圆周上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于D.求BD的长.

【导学号：96990015】

图1-2-6

【解】 如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.

∵∠A＝30°，AB＝2 cm， ∴BC＝＝1(cm).

2∵∠ABD＝120°，

∴∠DBC＝120°－60°＝60°. ∵CD⊥BD，

∴∠BCD＝90°－60°＝30°，

ABBC1

∴BD＝＝＝0.5(cm).

22

与圆周角定理有关的计算问题 如图1-2-7，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.

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