概率统计建模讲义

主要内容

随机变量及其分布

经验分布函数和频率直方图 参数估计 假设检验

相关分析与回归分析简介 MATLAB

例题

例1能量供应问题 例2 放射性 例3正态分布 例4指数分布 例5 多元随机变量 例6经验分布函数 例7超市问题 例8区间估计 例9 拟合检验1 例10拟合检验2 例11概率纸检验法 例12道德 例13肠癌 例14 J效应

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随机变量及其分布

例1、能量供应问题（二项分布）

假定有n?10个工人间歇性地使用电力，估计所需要的总负荷。

首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p需要一个单位的电力。那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。用X表示这个随机变量，记做X?B(n,p)，且有

P(X?k)?Cp(1?p)knkn?k,k?0,1,?,n

这是非常重要的一类概率分布。其中

E(X)＝np， D(X)=np(1-p)。

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其次，要根据经验来估计出，p值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有

p?12?0.2。 60最后，利用公式我们求出随机变量X的概率分布表如下：

X P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.107374 0.268435 0.30199 0.201327 0.08808 0.026424 0.005505 0.000786 0.000074 0.000004 0.000000

1 1 累积0.107374 0.37581 0.6778 0.879126 0.967207 0.993631 0.999136 0.999922 0.999996 概率 为直观计，我们给出如下概率分布图：

0.3520.30.250.20.150.10.05003101234567891045678910

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可以看出，

P{X?6}?1?P{X?6}?0.000864，

也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的概率只有0.000864，即每

1?1147分钟?20小时

0.000864中，才可能有一分钟电力不够用。还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的1还

11要小。

问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么样的随机变量会服从二项分布？

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进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数是一个服从二项分布B（n，p）。

作业：用MATLAB计算本题。

binopdf(x,n,p) 计算x中每个值对应的二项分布概率

binocdf(x,n,p) 计算x中每个值对应的分布函数值

binoinv(y,n,p) 计算使得分布函数值大于等于y的最小整数x： P（X<=x）>=y

binornd(n,p, mm, nn) 产生二项分布随机数，mm行nn列。 再如，产生两行五列的随机数用binornd(10,0.2,[2,5]) 例如binopdf(0:10,10,0.2), binoinv(0.9,10,0.2)=4, binoinv((0:10)/10,10,0.2) binornd(10,0.2,1,5) ans =

2 2 1 1 4

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